Développement de méthodes d'analyse de données en ligne

Development of methods to analyze data steams

• Auteur / Autrice : Romain Bar
• Direction : Jean-Marie Monnez
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 29/11/2013
• Etablissement(s) : Université de Lorraine
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan (1953-1996 ; Nancy, Vandoeuvre-lès-Nancy, Meurthe-et-Moselle)
• Jury : Président / Présidente : Pierre Vallois
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Charles Bouveyron, Bernard Fichet, Anne Gegout-Petit
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Hervé Cardot, Jérôme Saracco

Mots clés

Mots clés contrôlés

Approximation stochastique

Corrélation canonique (statistique)

Analyse en composantes principales

Analyse des données

Données massives

Mots clés libres

Big Data

Flux de données

Analyse en composantes principales (ACP)

ACP projetée

Analyse canonique généralisée (ACG)

Approximation stochastique

Big data

Data streams

Principal components analysis (PCA)

Projected PCA

Generalized canonical correlation analysis (gCCA)

Stochastic approximation

Résumé

On suppose que des vecteurs de données de grande dimension arrivant en ligne sont des observations indépendantes d'un vecteur aléatoire. Dans le second chapitre, ce dernier, noté Z, est partitionné en deux vecteurs R et S et les observations sont supposées identiquement distribuées. On définit alors une méthode récursive d'estimation séquentielle des r premiers facteurs de l'ACP projetée de R par rapport à S. On étudie ensuite le cas particulier de l'analyse canonique, puis de l'analyse factorielle discriminante et enfin de l'analyse factorielle des correspondances. Dans chacun de ces cas, on définit plusieurs processus spécifiques à l'analyse envisagée. Dans le troisième chapitre, on suppose que l'espérance En du vecteur aléatoire Zn dont sont issues les observations varie dans le temps. On note Rn = Zn - En et on suppose que les vecteurs Rn forment un échantillon indépendant et identiquement distribué d'un vecteur aléatoire R. On définit plusieurs processus d'approximation stochastique pour estimer des vecteurs directeurs des axes principaux d'une analyse en composantes principales (ACP) partielle de R. On applique ensuite ce résultat au cas particulier de l'analyse canonique généralisée (ACG) partielle après avoir défini un processus d'approximation stochastique de type Robbins-Monro de l'inverse d'une matrice de covariance. Dans le quatrième chapitre, on considère le cas où à la fois l'espérance et la matrice de covariance de Zn varient dans le temps. On donne finalement des résultats de simulation dans le chapitre 5

High dimensional data are supposed to be independent on-line observations of a random vector. In the second chapter, the latter is denoted by Z and sliced into two random vectors R et S and data are supposed to be identically distributed. A recursive method of sequential estimation of the factors of the projected PCA of R with respect to S is defined. Next, some particular cases are investigated : canonical correlation analysis, canonical discriminant analysis and canonical correspondence analysis ; in each case, several specific methods for the estimation of the factors are proposed. In the third chapter, data are observations of the random vector Zn whose expectation En varies with time. Let Rn = Zn - En be and suppose that the vectors Rn form an independent and identically distributed sample of a random vector R. Stochastic approximation processes are used to estimate on-line direction vectors of the principal axes of a partial principal components analysis (PCA) of ~Z. This is applied next to the particular case of a partial generalized canonical correlation analysis (gCCA) after defining a stochastic approximation process of the Robbins-Monro type to estimate recursively the inverse of a covariance matrix. In the fourth chapter, the case when both expectation and covariance matrix of Zn vary with time n is considered. Finally, simulation results are given in chapter 5