Constructions et performances de codes LDPC quantiques

• Auteur / Autrice : Nicolas Delfosse
• Direction : Gilles Zémor
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance le 12/12/2012
• Etablissement(s) : Bordeaux 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de mathématiques et informatique (Talence, Gironde ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Bordeaux
• Jury : Président / Présidente : Cyril Gavoille
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Rüdiger Urbanke, Christine Bachoc
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Renato Renner, Jean-Pierre Tillich

Mots clés

Mots clés contrôlés

Codes de contrôle à parité de faible intensité

Informatique quantique

Codes correcteurs d'erreurs (théorie de l'information)

Percolation (physique statistique)

Pavage (mathématiques)

Mots clés libres

Code quantique

Code LDPC

Percolation

Canal à effacement

Pavage de surface

Quantum code

LDPC code

Percolation

Quantum erasure channel

Tiling of surface

Résumé

L'objet de cette thèse est l'étude des codes LDPC quantiques. Dans un premier temps, nous travaillons sur des constructions topologiques de codes LDPC quantiques. Nous proposons de construire une famille de codes couleur basée sur des pavages hyperboliques. Nous étudions ensuite les paramètres d'une famille de codes basée sur des graphes de Cayley.Dans une seconde partie, nous examinons les performances de ces codes. Nous obtenons une borne supérieure sur les performances des codes LDPC quantiques réguliers sur le canal à effacement quantique. Ceci prouve que ces codes n'atteignent pas la capacité du canal à effacement quantique. Dans le cas du canal de dépolarisation, nous proposons un nouvel algorithme de décodage des codes couleur basé sur trois décodages de codes de surface. Nos simulations numériques montrent de bonnes performances dans le cas des codes couleur toriques.Pour finir, nous nous intéressons au phénomène de percolation. La question centrale de la théorie de la percolation est la détermination du seuil critique. Le calcul exacte de ce seuil est généralement difficile. Nous relions la probabilité de percolation dans certains pavages réguliers du plan hyperbolique à la probabilité d'erreur de décodage pour une famille de codes hyperboliques. Nous en déduisons une borne sur le seuil critique de ces pavages hyperboliques basée sur des résultats de théorie de l'information quantique. Il s'agit d'une application de la théorie de l'information quantique à un problème purement combinatoire.

This thesis is devoted to the study of quantum LDPC codes. The first part presents some topological constructions of quantum LDPC codes. We introduce a family of color codes based on tilings of the hyperbolic plane. We study the parameters of a family of codes based on Cayley graphs.In a second part, we analyze the performance of these codes. We obtain an upper bound on the performance of regular quantum LDPC codes over the quantum erasure channel. This implies that these codes don't achieve the capacity of the quantum erasure channel. In the case of the depolarizing channel, we propose a new decoding algorithm of color codes based on three surface codes decoding. Our numerical results show good performance for toric color codes.Finally, we focus on percolation theory. The central question in percolation theory is the determination of the critical probability. Computing the critical probability exactly is usually quite difficult. We relate the probability of percolation in some regular tilings of the hyperbolic plane to the probability of a decoding error for hyperbolic codes on the quantum erasure channel. This leads to an upper bound on the critical probability of these hyperbolic tilings based on quantum information. It is an application of quantum information to a purely combinatorial problem.