Phénomènes de propagation dans des milieux diffusifs excitables : vitesses d'expansion et systèmes avec pertes

Propagation phenomena in diffusive and axcitable media : spreading speeds and systems with losses

• Auteur / Autrice : Thomas Giletti
• Direction : François Hamel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/12/2011
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 3
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jérôme Coville, Michel Langlais, Frank Merle
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Emmanuel Grenier, Lenya Ryzhik

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles non linéaires

Équations différentielles elliptiques

Équations différentielles hyperboliques

Équations de réaction-diffusion

Mots clés libres

EDP nonlinéaires

Elliptiques

Paraboliques

Réaction-diffusion

Fronts progressifs

Propagation

Elliptic

Parabolic

Nonlinear PDEs

Reaction-diffusion

Traveling waves

Propagation

Résumé

Les systèmes de réaction-diffusion interviennent pour décrire les transitions de phase dans de nombreux champs d'application. Cette thèse porte sur l'analyse mathématique de modèles de propagation dans des milieux diffusifs, non bornés et hétérogènes, et s'inscrit ainsi dans la lignée d'une recherche particulièrement active. La première partie concerne l'équation simple: on s'y intéressera à la structure interne des fronts, mais on exhibera aussi de nouvelles dynamiques où la vitesse d'un profil de propagation n'est pas unique. Dans la seconde partie, on s'intéresse aux systèmes à deux équations, pour lesquels l'absence de principe du maximum pose de nombreuses difficultés. Ces travaux, en portant sur un vaste éventail de situations, offrent une meilleure compréhension des phénomènes de propagation, et mettent en avant de nouvelles propriétés des problèmes de réaction-diffusion, aidant ainsi à améliorer l'analyse théorique comme alternative à l'approche empirique.

Reaction-diffusion systems arise in the description of phase transitions in various fields of natural sciences. This thesis is concerned with the mathematical analysis of propagation models in some diffusive, unbounded and heterogeneous media, which comes within the scope of an active research subject. The first part deals with the single equation, by looking at the inside structure of fronts, or by exhibiting new dynamics where the profile of propagation may not have a unique speed. In a second part, we take interest in some systems of two equations, where the lack of maximum principles raises many theoretical issues. Those works aim to provide a better understanding of the underlying processes of propagation phenomena. They highlight new features for reaction-diffusion problems, some of them not known before, and hence help to improve the theoretical approach as an alternative to empirical analysis.