Etude de systèmes différentiels fractionnaires

On some fractional differential systems

• Auteur / Autrice : Aurélien Deya
• Direction : Samy Tindel
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 18/10/2010
• Etablissement(s) : Nancy 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale IAEM Lorraine - Informatique, Automatique, Électronique - Électrotechnique, Mathématiques de Lorraine
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Élie Cartan (1953-1996 ; Nancy, Vandoeuvre-lès-Nancy, Meurthe-et-Moselle)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Samy Tindel, Arnaud Debussche, Marta Sanz-Solé, Massimiliano Gubinelli, Michel Ledoux, Ivan Nourdin, Antoine Lejay
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Arnaud Debussche, Marta Sanz-Solé

Mots clés

Mots clés contrôlés

Approximation numérique

Processus stochastiques

Holder, Espaces de

Équations différentielles

Mots clés libres

Théorie des trajectoires rugueuses

Mouvement Brownien fractionnaire

Équation de Volterra stochastique

EDP stochastiques

Schémas numériques d’approximation

Résumé

Ce mémoire de thèse est consacré à l’interprétation et la résolution de différents types de systèmes différentiels, fini ou infini-dimensionnels, dirigés par un processus höldérien. La stratégie mise en œuvre consiste en une adaptation de la théorie des trajectoires rugueuses pour les équations différentielles ordinaires. Sont plus particulièrement considérés le cas de l’équation de Volterra et le cas de l’équation de la chaleur. Le mémoire fait en outre apparaître une réflexion systématique sur les retombées de cette approche en termes d’interprétation de systèmes stochastiques, avec une attention particulière portée au cas du mouvement Brownien fractionnaire. Il propose enfin une analyse détaillée de plusieurs schémas d’approximation numérique des solutions.

This PhD thesis work is devoted to the study of some finite and infinite-dimensional differential systems driven by Hölder processes. The general strategy consists in adapting the rough paths methods, originally designed to handle standard systems only. More specifically, we consider the case of the Volterra systems, as well as the case of heat equations. This work also focuses on the spin-offs of the rough paths approach as far as stochastic systems are concerned, with a special attention to the fractional Brownian motion. Finally, a detailed analysis of several approximation schemes for the solutions is provided