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Thèse soutenue

Equation non-linéaire renouvelant structurée par l’âge

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Auteur / Autrice : suman Kumar Tumuluri
Direction : Benoît Perthame
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques appliquées
Date : Soutenance en 2009
Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

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Les équations structurées apparaissent dans de nombreux domaines de la biologie des populations. La limitation des ressources, introduits par Verhulst, conduisent à des modèles avec des non-linéarités sous formes intégrales. Les équations structurées en âge semblent les plus simples pour commencer. Le chapitre 1 présente de nombreux exemples issus de l'épidémiologie, l'écologie, l'oncologie. . . Etc Il donne également des résultats généraux de convergence vers l'état stationnaire non-nul par des méthodes de perturbation, d'entropie ou de réduction à des systèmes plus simples. On ne s'attend toutefois pas à des comportement toujours si simples. Le chapitre 2 étudie la stabilité linéaire de l'état stationnaire avec des hypothèses permettant d'établir qu'il est unique. Ceci conduit à un problème spectral que l'on ne peut résoudre analytiquement ou classifier en général. Nous donnons diverses structures montrant que l'état stationnaire peut être stable ou instable (même dans le cas de termes de naissance décroissants). Dans ce cadre on retrouve numériquement des solutions périodiques stables déjà mises en évidence par divers auteurs. Le chapitre 3 s'applique à l'étude de convergence, dans un cadre général, des schémas numériques utilisés auparavant. Les difficultés ici proviennent du terme de naissance au bord non-linéaire et de l'absence de bornes BV dans la variable naturelle. Ceci oblige à passer par des estimations BV en temps afin d'en déduire de la compacité nécessaire à passer à la limite. Les tests numériques montrent qu'un schéma d'ordre deux est nécessaire pour capturer les oscillations transitoires générées par la non-linéarité