Maillage fixe et domaine mobile

Fixed mesh and free domain

• Auteur / Autrice : Gaël Dupire
• Direction : Marc Dambrine, Pierre Villon
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Technologies de l'information et des systèmes
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Compiègne

Mots clés

Mots clés contrôlés

Mécanique appliquée

Grilles (analyse numérique)

Éléments finis, Méthode des

Équations aux dérivées partielles

Analyse numérique

Mots clés libres

Maillages (analyse numérique)

Level-set

Formation variationnelle

Méthode de Nitsche

Condition inf-sup

Fonctions de forme

Résumé

Dans le domaine de la modélisation numérique, la résolution des équations aux dérivées partielles occupe une place centrale. L’approche par éléments finis impose d’utiliser un maillage qui reproduit le domaine d’étude sous une forme discrétisée sur lequel s’appuient les fonctions de forme. Lorsque le domaine change de forme (problèmes d’évolution ou optimisation), le maillage se déforme et les fonctions de forme associées peuvent dégénérer, ce qui conduit à des procédures lourdes de remaillage et de transfert de champs qui s’accompagnent de pertes de précision. Mes travaux portent sur l’étude d’une nouvelle formulation dans laquelle les fonctions de forme sont associées à un maillage fixe structuré correspondant à une boîte englobant le domaine. Le prix à payer pour obtenir cette simplification est la perte d’ellipticité de la forme bilinéaire associée. J’étudie cette nouvelle formulation, tant du point de vue théorique (convergence) que du point de vue mise en forme numérique et de l’optimisation de cette mise en œuvre.

The aim of our work is to study a meshfree method introduce recently in by S. Dumont, O. Goubet, T. Ha Duong and P. Villon for the numerical resolution of an elliptic boundary value problem. We are motivated by problems of surface evolution problem like Hele-Shaw flow where the speed of the moving interface is governed by the solution of an boundary value problem posed on the moving domain. In 3D-problems, the induced remeshing can be expensive. Moreover, the projection of the computed solution on the new mesh is a costly operation which may deteriorate the quality of the computed solution. Hence we seek to avoid this remeshing stage. Many techniques have been developed in that direction. One idea is to include our domain in a bounding box and solve an equivalent problem on this box. This is the case of the fictious domainmethod. This approach has been applied in for surface evolution problem for exemple. In case of cracks growth, an eXtended Finite Element Method has been also used in with satisfactory numerical result. The common feature of these methods is to increase the number of degree of freedom by adding either nodes, either dedicated basis functions.