Dimension de Hausdorff du graphe d'une fonction continue : une étude analytique et statistique

• Auteur / Autrice : François Roueff
• Direction : Éric Moulines
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Paris, ENST

Résumé

Parmi les autres dimensions fractales, la dimension de Hausdorff est souvent considérée comme la plus canonique. Malheureusement, elle est aussi celle dont le calcul pose le plus de problèmes, notamment dans le cas particulier qui nous a interessé dans cette thèse : le graphe d'une fonction continue f, définie sur r d. Deux types de résultats sont connus dans ce cadre. Des résultats déterministes : on sait majorer la dimension de Hausdorff du graphe de f par des indices de régularite plus accessibles. Des résultats probabilistes : on sait calculer la dimension de Hausdorff presque sure du graphe de f pour f appartenant à des classes précises de fonctions aléatoires. Un exeme bien connu de ces classes de fonctions aléatoires sont les trajectoires continues des processus de Adler. Dns un premier temps, nous généralisons ces résultats en utilisant une décomposition de f en série d'ondelettes. Les résultats obtenus établissent en particulier comment la régularite d'une fonction continue f en terme d'espaces de Besov estreliée à ladimension de Hausdorff de son graphe en général. Nous posons par ailleurs le problème des généralisations possibles des processus de Adler au cas non-gaussien et/ou non-stationnaire et mettons notre approche en parallèle avec des modéles déjà proposes dans le cadre de l'analyse multifractal. Dans un deuxieme temps, nous nous intéressons a l'estimation du paramètre de Hurst d'un processus de Adler dans un modèle semi-paramétrique à partir d'un échantillon composé de n observations du processus, équi-reparties dans 0, 1. Nous déterminons des classes de tels processus sur lesquelles la vitesse de convergence en moyenne quadratique de l'estimateur utilisé est optimale au sens minimax.