Conception et analyse de schémas d'ordre élevé pour l'approximation des équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre

• Auteur / Autrice : Steve Augoula
• Direction : Rémi Abgrall
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique et mathématiques
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Bordeaux 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Hamilton-Jacobi, Équations de

Propergols solides

Simulation par ordinateur

Chimie industrielle

Résumé

L'expérience a montré que le processus de fabrication de certains propergols solides génère des striations qui seraient responsables d'anomalies observées au cours de la combustion. L'objet de cette thèse est de procéder à la simulation numérique du suivi de front de flamme dans des propergols composites striés et cela par des approximations d'ordre de précision élevé. Les modèles mathématiques présentés ici sont des cas particuliers de problèmes mixtes de Hamilton-Jacobi où les conditions aux limites consistent en un couplage de condition de Dirichlet et de contrainte d'état. La première partie est consacrée à la modélisation du phénomène étudié et à l'analyse mathématique des modèles obtenus. Cette dernière est effectuée dans la classe des solutions de viscosité des équations de Hamilton-Jacobi du premier ordre. La deuxième partie constitue la véritable nouveauté de la thèse en traitant de l'approximation d'équations abstraites de Hamilton-Jacobi du premier ordre par des méthodes numériques d'ordre de précision quelconque. Dans un premier temps, nous construisons un Hamiltonien numérique de type Godunov qui est spécialement adapté aux Hamiltoniens convexes/concaves. Puis, nous construisons deux Hamiltoniens de type Lax-Friedrichs pour le traitement d'Hamiltoniens plus généraux. Enfin, les deux familles de schémas sont stabilisées par de nouveaux limiteurs et appliquées à notre problème de suivi de front.

The propagation of a flame front in streaked medium can be seen as a particular case of a first order Hamilton Jacobi mixed problem. It acts like a system coupling a version of the well-known eikonal equation, Dirichlet boundary conditions and a state constraint. The aim of this thesis is to develop and analyse new numerical high order schemes for the approximation of general first order Hamilton Jacobi equations. And finally to simulate, thanks to these latter methods, the evolution of solid propellant combustion. The first part characterizes and analyses the Hamilton Jacobi systems stemming from the modelisation of the phenomenon. In particular, a proof of the existence and uniqueness is given in the viscosity sense. The second part is devoted to the approximation of standard Cauchy problems related to general first order Hamilton Jacobi equations. The numerical solutions are approached by new high order methods which are stabilized by innovator filters. The new schemes are valided by several numerical experiments giving k-th order convergence rate when the piecewise polynomials of degree k function are used, measured in L¹-norm.