Numerical analysis of kinetic equations and their hydrodynamical limit

• Auteur / Autrice : Stéphane Mischler
• Direction : Benoît Perthame
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1995
• Etablissement(s) : Paris 6

Résumé

Cette these aborde l'etude theorique et numerique des equations cinetiques collisionnelles (eq. De boltzmann et eq. Bgk) et de leur limite fluide (systeme d'equations d'euler en compressible). Dans la premiere partie nous montrons l'unicite de la solution du probleme de cauchy de l'equation bgk avec donnee initiale bornee superieurement et inferieurement pour une norme uniforme avec poids polynomial en vitesse et en position. Lorsque la donnee initiale est, de plus, a variations bornees, nous resolvons un schema semi-discret en temps et nous montrons qu'il converge avec un taux d'ordre un demi. La seconde partie concerne les solutions renormalisees de l'equation de boltzmann. Nous prouvons la convergence de la methode de decomposition d'operateur entre partie transport et partie collision pour les equations de boltzmann et bgk. La difficulte principale est de montrer la compacite forte des moyennes en vitesses de la suite des solutions approchees definies par la decomposition. Nous nous interessons a la discretisation en vitesse de l'equation de boltzmann par des systemes d'equations de boltzmann discretes. Nous donnons un critere general de convergence que nous appliquons pour demontrer la convergence de differents schemas. Deux difficultes apparaissent : nous devons traiter des sections efficaces non standard, et demontrer un theoreme de compacite forte des moyennes en vitesse adapte a ce contexte. Nous demontrons des theoremes d'existence de solutions de l'equation de boltzmann pour des donnees initiales d'energie infinie, ce qui generalise largement les donnees initiales possibles. Cette methode peut s'appliquer a la theorie des solutions renormalisees (grandes et globales) et a celle des solutions distributions (petites et globales, ou proches d'une maxwellienne et globales). La troisieme partie est consacree a une etude numerique de schemas de type cinetique collisionnel pour les equations d'euler. Nous construisons un schema precis sur les discontinuites de contact grace a une formulation cinetique exacte de l'equation d'euler et une discretisation de cette equation.