Representations galoisiennes et classes caracteristiques

Galois cohomology an characteristic classes

• Auteur / Autrice : Bruno Kahn
• Direction : Christophe Soulé
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 1987
• Etablissement(s) : Paris 7

Résumé

Cette these est centree sur l'etude des classes caracteristiques associees aux representations lineaires du groupe de galois absolu d'un corps commutatif: classes de chern pour les representations complexes, classes de stiefel-whitney pour les representations reelles. Dans le cas complexe, on montre que les classes de chern sont d'ordre au plus 2 dans la cohomologie galoisienne (a partir de la deuxieme); elles sont memes nulles (a partir de la deuxieme) lorsque le corps de base verifie une certaine condition portant sur ses extensions 2-cyclotomiques; ceci est toujours le cas lorsque -1 est un carre dans le corps, ou en caracteristique positive. Dans le cas reel, on relie les classes de stiefel-whitney de certaines representations reelles a celles de certaines formes quadratiques; cela generalise une forme demontree par serre en degre 2. On montre egalement que les classes de stiefel-whitney d'une representation reelle sont toujours decomposables. En complement de ceci, cette these contient divers resultats sur les constantes locales associees aux caracteres quadratiques des corps p-adiques, et notamment un calcul explicite de celles-ci en caracteristique residuelle differente de 2; ces resultats et leurs demonstrations sont lies aux precedents ainsi qu'a des travaux de conner et perlis. La these contient egalement une construction (en topologie) de "classes de chern equivariantes", qui contiennent pour un fibre vectoriel reel a la fois ses classes de stiefel-whitney et les classes de chern de son complexifie; enfin on y trouvera un texte sur la divisibilite du groupe de brauer d'un corps