Approximation de la mesure quasi-stationnaire

Approximation of the Quasi-Stationnary Distribution

• Auteur / Autrice : Noé Blassel
• Direction : Gabriel Stoltz, Tony LELIèVRE
• Type : Projet de thèse
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Inscription en doctorat le 01/10/2022
• Etablissement(s) : Marne-la-vallée, ENPC
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre d'enseignement et de recherche en mathématiques et calcul scientifique (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne)

Mots clés

Mots clés libres

Analyse numérique

Dynamique moléculaire

Distribution Quasi-stationnaire

Méthodes de Monte-Carlo

Métastabilité

Numerical Analysis

Molecular Dynamics

Quasi-stationnary distribution

Monte-Carlo methods

Metastability

Résumé

L'échantillonnage de systèmes à l'échelle moléculaire se heurte souvent au problème de la métastabilité : la dynamique reste coincée au voisinage de minima locaux pendant des temps longs. Dans ce cadre, les méthodes de dynamique moléculaire accélérée, notamment l'approche "parallel replicas", peuvent grandement améliorer l'échantillonnage des événements rares correspondant à des transitions d'un état métastable à un autre. D'un point de vue mathématique, un outil fondamental pour comprendre l'efficacité des méthodes numériques associeés est la distribution quasi-stationnaire (QSD) du processus stochastique sous-jacent, qui donne la distribution du système conditionné à ne pas sortir du domaine d'intérêt. L'objectif de cette thèse est d'étudier deux approximations de la QSD, qui permettent la simulation effective ou plus efficace du processus : - l'erreur commise par la discrétisation en temps du processus sous-jacent, avec idéalement des estimations d'erreur à la Talay-Tubaro sur la QSD et les premières valeurs propres de l'opérateur associé au générateur du processus continu sous-jacent, ainsi que sur la distribution des points de sortie. Un point critique dans la quantification des erreurs est le calcul des temps de sortie, pour lequel des techniques ont été proposées par Gobet et Menozzi (SPA, 2010). - le remplacement des conditions de bord absorbantes au niveau des processus, ou conditions de Dirichlet au niveau de la formulation du problème en terme d'équations aux dérivées partielles, par un taux de mort quand on sort du domaine d'intérêt. Ceci correspondant au cadre des "soft measures", et permet de traiter le cas de systèmes avec des bassins d'attraction mal définis (comme les systèmes biologiques). On souhaite quantifier la différence des valeurs propres par rapport aux valeurs de référence lorsque le taux de mort tend vers l'infini. Du point de vue des applications, les méthodes étudiées pourront être mises en oeuvre en collaboration avec Danny Perez (Los Alamos National Laboratories) et Louis Lagardère/Jan-Philip Piquemal (Sorbonne-Université).

The statistical sampling of systems at the molecular level often faces the hurdle of metastability: the dynamics remains stuck for long periods of time around local minima. In this setting, accelerated dynamics methods like the Parallel Replica algorithm can greatly improve the sampling of rare events corresponding to transitions from one metastable state to another, in a statistically consistent way with the equilibrium measure. From a mathematical point of view, a fundamental tool to understand the efficiency of related numerical methods is the quasi-stationnary distribution (QSD) of the underlying stochastic process, which gives the distribution of the system conditionned on not leaving the metastable state. The main objective of this project is to study two aproximations of the QSD, which make possible or more efficient the simulation of the dynamics: -The time-discretization error of the underlying-process, with ideally error estimates of the Talay-Tubaro family on the QSD and the first eigenvalues associated with the generator of the underlying continuous process, as well as on the distribution of exit points. A critical point in the quantification of discretization error is the calculation of exit times, for which techniques have been proposed by Gobet and Menozzi (SPA, 2010). -The replacement of absorbing boundary conditions at the level of the continuous processes, or Dirichlet boundary conditions at the level of a PDE formulation of the problem, by a kill rate after exiting the metastable domain. This corresponds to the framework of soft measures, and allows for treating cases where the basin of attraction is ill-defined, which is often the case in biological systems. We wish to quantify discrepancies in the eigenvalues relative to reference values when the kill rate tends to infinity. From an applied perspective, the methods developed will be implemented in collaboration with Danny Perez (Los Alamos National Laboratories) and Louis Lagardère/ Jan-Philip Piquemal (Sorbonne-Université)