Torsion de Reidemeister sur les variétés de caractères

Reidemeister torsion on character varieties

• Auteur / Autrice : Léo Bénard
• Direction : Julien Marché
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 14/03/2018
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Nicolas Bergeron
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Stefan Friedl, Catherine Gille
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Michael Heusener, Joan Porti

Mots clés

Mots clés contrôlés

Théorie des noeuds

Variétés topologiques à 3 dimensions

Reidemeister, Torsion de

Mots clés libres

Torsion de Reidemeister

Variétés des caractères

Surfaces incompressibles

Topologie en dimension 3

Théorie des noeuds

Théorie de Culler-Shalen

Reidemeister torsion

Incompresible surfaces

Culler-Shalen theory

Résumé

Dans cette thèse on étudie un invariant topologique des variétés de dimension 3, la torsion de Reidemeister, comme un objet global sur les variétés de caractères du groupe fondamental dans SL(2,C). Dans le cas du complexe cohomologique associé à la représentation adjointe, on définit la torsion « adjointe » comme une forme différentielle méromorphe sur la variété des caractères. On reliera l’apparition de pôles ou de zéros à :-des singularités de la variété des caractères-la topologie de certaines surfaces incompressibles plongées, produites via la théorie de Culler-Shalen.On obtiendra, comme conséquence de ces résultats, une formule reliant le genre de ces surfaces incompressibles, et celui de la variété des caractères.Dans le cas du complexe standard, la torsion « acyclique » est une fonction méromorphe sur la variété des caractères. Une étude poussée des pôles apparaissant aux points à l’infini nous permettra, entre autre, de donner des conditions suffisantes pour que la torsion soit non constante.

In this PhD dissertation, we study a topological invariant of 3-manifolds, namely the Reidemeister torsion, as globally defined on character varieties of the fundamental group in SL(2,C). The « adjoint » torsion will be the torsion of the cohomological complex associated to the adjoint representation. We explain that it can be seen as a meromorphic differential form on the character variety, and we aim to understand its poles and zeros. They will be related with -singular points of the character variety -the topology of incompressible surfaces embedded in the 3-manifold, provided by the Culler-Shalen theory. As an application, we prove a relation between the genus of those incompressible surface and the genus of the character variety. The « acyclic » torsion of the standard complex is a rational function on the character variety. We study its poles at infinity in the character variety, and we give sufficient conditions for this torsion to be non constant.