Transport optimal de mesures positives : modèles, méthodes numériques, applications

Unbalanced Optimal Transport : Models, Numerical Methods, Applications

• Auteur / Autrice : Lénaïc Chizat
• Direction : Gabriel Peyré
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences
• Date : Soutenance le 10/11/2017
• Etablissement(s) : Paris Sciences et Lettres (ComUE)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de préparation de la thèse : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Julie Delon
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Julie Delon, Jean-David Benamou, François-Xavier Vialard, Francesco Rossi, Bertrand Maury, Nicolas Papadakis
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Giuseppe Savaré, Benedikt Wirth

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géodésiques (mathématiques)

Entropie

Convergence (mathématiques)

Traitement d'images

Optimisation convexe

Transport optimal de mesure

Mots clés libres

Transport optimal

Analyse convexe

Optimisation

Mesures positives

Géométrie de l'information

Algorithme de Sinkhorn

Traitement d'image

Flots de gradient

Convergence faible

Traitement de champs de tenseurs

Barycentres

Entropie relative

Espace métrique géodésique

Optimal transport

Convex analysis

Optimization

Nonnegative measures

Information geometry

Sinkhorn's algorithm

Image processing

Gradient flows

Weak convergence

Tensor field processing

Barycentres

Relative entropy

Geodesic metric space

Résumé

L'objet de cette thèse est d'étendre le cadre théorique et les méthodes numériques du transport optimal à des objets plus généraux que des mesures de probabilité. En premier lieu, nous définissons des modèles de transport optimal entre mesures positives suivant deux approches, interpolation et couplage de mesures, dont nous montrons l'équivalence. De ces modèles découle une généralisation des métriques de Wasserstein. Dans une seconde partie, nous développons des méthodes numériques pour résoudre les deux formulations et étudions en particulier une nouvelle famille d'algorithmes de "scaling", s'appliquant à une grande variété de problèmes. La troisième partie contient des illustrations ainsi que l'étude théorique et numérique, d'un flot de gradient de type Hele-Shaw dans l'espace des mesures. Pour les mesures à valeurs matricielles, nous proposons aussi un modèle de transport optimal qui permet un bon arbitrage entre fidélité géométrique et efficacité algorithmique.

This thesis generalizes optimal transport beyond the classical "balanced" setting of probability distributions. We define unbalanced optimal transport models between nonnegative measures, based either on the notion of interpolation or the notion of coupling of measures. We show relationships between these approaches. One of the outcomes of this framework is a generalization of the p-Wasserstein metrics. Secondly, we build numerical methods to solve interpolation and coupling-based models. We study, in particular, a new family of scaling algorithms that generalize Sinkhorn's algorithm. The third part deals with applications. It contains a theoretical and numerical study of a Hele-Shaw type gradient flow in the space of nonnegative measures. It also adresses the case of measures taking values in the cone of positive semi-definite matrices, for which we introduce a model that achieves a balance between geometrical accuracy and algorithmic efficiency.