Densité des points rationnels sur les surfaces elliptiques et les surfaces de Del Pezzo de degré 1

Density of rational points on elliptic surfaces and degree 1 Del Pezzo surfaces

• Auteur / Autrice : Julie Desjardins
• Direction : Marc Hindry
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques. Théorie des nombres
• Date : Soutenance le 18/11/2016
• Etablissement(s) : Sorbonne Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Equipe de recherche : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Partenaire(s) de recherche : établissement de préparation : Université Paris Diderot - Paris 7 (1970-2019)
• Jury : Président / Présidente : David Harari
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Harald Andrés Helfgott, Ariane Mézard
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jean-Marc Couveignes

Mots clés

Mots clés contrôlés

Zariski, Surfaces de

Points rationnels (géométrie)

Équations fonctionnelles

Surfaces de Del Pezzo

Surfaces elliptiques

Courbes elliptiques

Mots clés libres

Surfaces isotriviales

Isotrivial surfaces

Résumé

: Soit E→P1 une surface elliptique sur Q de base P1 non triviale. On s’intéresse à la Zariski-densité des points rationnels de E . Il est conjecturé que le signe de l’équation fonctionnelle d’une courbe elliptique est relié à la parité du rang de celle-ci. Modulo cette conjecture, il est suffisant de démontrer que le signe des fibres de E varie pour démontrer la Zariski-densité de E (Q). Un théorème conditionnel de Helfgott garantit que le signe moyen d’une surface non isotriviale est strictement compris entre -1 et 1. Dans le cas où E possède une place générique de réduction multiplicative, le signe moyen serait nul. Ce travail est conditionnel à deux conjectures de théorie analytique des nombres : la conjecture sans facteur carré et la conjecture de Chowla. L’objectif principal de cette thèse est d’éviter les conjectures utilisées par Helfgott pour démontrer la variation du signe sur les surfaces elliptiques non triviales. On réussit à se passer de la conjecture sans facteur carré sous certaines hypothèses techniques. On démontre ainsi (sous l’hypothèse de la conjecture de parité) la densité des points rationnels sur certaines surfaces elliptiques dont les coefficients sont des polynômes de degré arbitraire. Une surface de Del Pezzo de degré 1 est reliée par l’éclatement d’un point canonique à une surface elliptique rationnelle. On démontre inconditionnellement la densité des points rationnels dans plusieurs cas par des arguments géométriques. On étudie aussi la variation du signe de l’équation fonctionnelle pour des surfaces elliptiques rationnelles isotriviales et on cerne des conditions pour que le signe soit fixé. Dans le cas où le signe est +1, on en déduit des exemples de surfaces elliptiques non triviales dont les points rationnels pourraient ne pas être denses.

Let E→P1 be an non-trivial elliptic surface over Q with base P1. We are interested in the Zariski density of the rational points of E. It is conjectured that the root number of an elliptic curve E has the same parity as its rank. Assuming this conjecture, it is enough to show that the root number of the fibre of E varies to prove the Zariski density of E(Q). A conditional theorem of Helfgott garanties that the average root number of a non-isotrivial elliptic surface is strictly between -1 et 1. In the case where E has a generic place of multiplicative reduction, the average root number should be zero. This work is conditional to two analytic number theory conjectures : the squarefree conjecture and the Chowla conjecture. The main aim of this Ph.D thesis is to avoid the conjectures used by Helfgott when proving the variation of the root number on non-trivial elliptic surfaces. We manage to drop the squarefree conjecture assumption under some technical hypothesis. We show thus (under the parity conjecture) the density of the rational points on some elliptic surfaces whose coefficients have arbitrary large degree. Blowing up the anticanonical point on a del Pezzo surface of degree 1, one obtains a rational elliptic surface. We show unconditionally the density of the rational points in many cases by means of geometric arguments. We also study the variation of the root number on some isotrivial rational elliptic surfaces and we state the conditions under which it is constant. When it is +1, we deduce examples of non trivial elliptic surfaces whose rational points might not be dense.