Simulation de la propagation d'ondes élastiques en domaine fréquentiel par des méthodes Galerkine discontinues

High order discontinuous Galerkin methods for time-harmonic elastodynamics

• Auteur / Autrice : Marie Bonnasse-Gahot
• Direction : Henri Calandra, Julien Diaz, Stéphane Lanteri
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 15/12/2015
• Etablissement(s) : Nice
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences fondamentales et appliquées (Nice ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut national de recherche en informatique et en automatique (France). Unité de recherche (Sophia Antipolis, Alpes-Maritimes) - Numerical modeling and high performance computing for evolution problems in complex domains and heterogeneous media - MAGIQUE-3D
• Jury : Président / Présidente : Gilles Carbou
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Henri Calandra, Julien Diaz, Stéphane Lanteri, Gilles Carbou, Christophe Geuzaine, Jean Virieux, Hélène Barucq, Russell Hewett
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Christophe Geuzaine, Jean Virieux

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse harmonique (mathématiques)

Imagerie sismique

Ondes élastiques

Galerkine, Méthodes de

Mots clés libres

Méthodes Galerkine discontinues

Méthode Galerkine discontinue hybride

Ondes élastiques

Domaine fréquentiel

Imagerie sismique

Discontinuous Galerkin methods

Hybridizable discontinuous Galerkin method

Elastic waves

Harmonic domain

Seismic imaging

Résumé

Le contexte scientifique de cette thèse est l'imagerie sismique dont le but est de reconstituer la structure du sous-sol de la Terre. Comme le forage a un coût assez élevé, l'industrie pétrolière s'intéresse à des méthodes capables de reconstituer les images de la structure terrestre interne avant de le faire. La technique d'imagerie sismique la plus utilisée est la technique de sismique-réflexion qui est basée sur le modèle de l'équation d'ondes. L'imagerie sismique est un problème inverse qui requiert de résoudre un grand nombre de problèmes directs. Dans ce contexte, nous nous intéressons dans cette thèse à la résolution du problème direct en régime harmonique, soit à la résolution des équations d'Helmholtz. L'objectif principal est de proposer et de développer un nouveau type de solveur élément fini (EF) caractérisé par un opérateur discret de taille réduite (comparée à la taille des solveurs déjà existants) sans pour autant altérer la précision de la solution numérique. Nous considérons les méthodes de Galerkine discontinues (DG). Comme les méthodes DG classiques sont plus coûteuses que les méthodes EF continues si l'on considère un même problème à cause d'un grand nombre de degrés de liberté couplés, résultat des approximations discontinues, nous développons une nouvelle classe de méthode DG réduisant ce problème : la méthode DG hybride (HDG). Pour valider l'efficacité de la méthode HDG proposée, nous comparons les résultats obtenus avec ceux obtenus avec une méthode DG basée sur des flux décentrés en 2D. Comme l'industrie pétrolière s'intéresse au traitement de données réelles, nous développons ensuite la méthode HDG pour les équations élastiques d'Helmholtz 3D.

The scientific context of this thesis is seismic imaging which aims at recovering the structure of the earth. As the drilling is expensive, the petroleum industry is interested by methods able to reconstruct images of the internal structures of the earth before the drilling. The most used seismic imaging method in petroleum industry is the seismic-reflection technique which uses a wave equation model. Seismic imaging is an inverse problem which requires to solve a large number of forward problems. In this context, we are interested in this thesis in the modeling part, i.e. the resolution of the forward problem, assuming a time-harmonic regime, leading to the so-called Helmholtz equations. The main objective is to propose and develop a new finite element (FE) type solver characterized by a reduced-size discrete operator (as compared to existing such solvers) without hampering the accuracy of the numerical solution. We consider the family of discontinuous Galerkin (DG) methods. However, as classical DG methods are much more expensive than continuous FE methods when considering steady-like problems, because of an increased number of coupled degrees of freedom as a result of the discontinuity of the approximation, we develop a new form of DG method that specifically address this issue: the hybridizable DG (HDG) method. To validate the efficiency of the proposed HDG method, we compare the results that we obtain with those of a classical upwind flux-based DG method in a 2D framework. Then, as petroleum industry is interested in the treatment of real data, we develop the HDG method for the 3D elastic Helmholtz equations.