Étude des équations des milieux poreux et des modèles de cloques

Study of the porous medium equation and of a blister model

• Auteur / Autrice : Ghada Chmaycem
• Direction : Régis Monneau
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 18/09/2014
• Etablissement(s) : Paris Est
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-2015)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre d'enseignement et de recherche en mathématiques et calcul scientifique (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne) - Cermics
• Jury : Président / Présidente : Juan Luis Vázquez
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Régis Monneau, Jean-Jacques Marigo, Emmanuel Chasseigne, Jean Dolbeault, Mustapha Jazar
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Danielle Hilhorst

Mots clés

Mots clés contrôlés

Calcul des variations

Équations différentielles non linéaires

Équations différentielles paraboliques

Écoulement en milieux poreux

Mots clés libres

Equations des milieux poreux

Modèles des cloques

Contractions

Porous medium equation

Blister models

Contractions

Résumé

Dans cette thèse, deux problèmes complètement indépendants sont étudiés. Le premier sujet porte sur l'analyse mathématique d'un modèle simple de délamination de films minces et d'apparition de cloques. Le second sujet est une étude fine de l'équation des milieux poreux motivée par des problèmes d'intrusion saline. Dans le premier sujet de ce travail, nous considérons un modèle variationnel simple unidimensionnel décrivant la délamination de films minces sous l'effet d'un refroidissement. Nous caractérisons les minimiseurs globaux qui correspondent à trois types de films: non-délaminés, partiellement délaminés (appelés cloques) ou bien complètement délaminés. Deux paramètres jouent un rôle crucial dans un tel phénomène : la longueur du film et la température. Dans le plan de phase de ces deux derniers, nous classifions l'ensemble des minimiseurs. Comme conséquence de notre analyse, nous identifions explicitement les cloques les plus petites pour ce modèle. Dans le deuxième sujet, nous répondons d'abord à une question ouverte depuis longtemps concernant l'existence de nouvelles contractions pour l'équation de type milieux poreux. Pour m>0, nous nous sommes intéressés à des solutions positives de l'équation suivanteU_t=Delta U^m. Pour 0<m<2, nous présentons une nouvelle famille de contractions pour cette équation en toute dimension, ce qui induit une extension des propriétés de la contraction L^1. Notre contraction peut être considérée comme étant la quatrième contraction connue pour cette équation. Même pour le cas m=1, notre approche aboutit à des nouveaux résultats pour l'équation de la chaleur standard. Dans un second temps, nous avons traité le même problème mais en utilisant une approche différentielle différente basée sur les distances géodésiques. Cette approche originale et générale sert à fabriquer des familles de contractions pour des équations aux dérivées parielles non linéaires, d'évolutions ou stationnaires. Nous présentons dans ce cadre diverses applications. En particulier, nous traitons à nouveau l'équation des milieux poreux et l'équation doublement non linéaire

In this thesis, we study two completely independent problems. The first one focuses on a simple mathematical model of thin films delamination and blistering analysis. In the second one, we are interested in the study of the porous medium equation motivated by seawater intrusion problems. In the first part of this work, we consider a simple one-dimensional variational model, describing the delamination of thin films under cooling. We characterize the global minimizers, which correspond to films of three possible types : non delaminated, partially delaminated (called blisters), or fully delaminated. Two parameters play an important role : the length of the film and the cooling parameter. In the phase plane of those two parameters, we classify all the minimizers. As a consequence of our analysis, we identify explicitly the smallest possible blisters for this model. In the second part, we answer a long standing open question about the existence of new contractions for porous medium type equations. For m>0, we consider nonnegative solutions U(t,x) of the following equationU_t=Delta U^m.For 0<m<2, we present a new family of contractions for this equation in any dimension, which extends the L^1 contraction properties. Our contraction can be seen as the fourth known contraction for this equation. Even for the case m=1, our approach leads to new results for the standard heat equation. A second work focuses on the same problem but using a differential approach based on geodesic distances. This original and general method is used to produce families of contractions for nonlinear partial differential equations, of evolution or stationary type. We present in this part various applications of this original method. In particular, we are concerned with the porous medium and the doubly nonlinear equations