Accélération de la convergence de méthodes numériques parallèles pour résoudre des systèmes d’équations différentielles linéaires et transitoires non linéaires

Convergence acceleration of parallel numerical methods to solve nonlinear time-dependent and linear systems of differential equations

• Auteur / Autrice : Laurent Berenguer
• Direction : Damien Tromeur-Dervout, Jean-François Méhaut
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 13/10/2014
• Etablissement(s) : Lyon 1
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale en Informatique et Mathématiques de Lyon
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Camille Jordan (Rhône ; 2005-....) - Institut Camille Jordan
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Bruno Lacabanne, Éric Blayo, Hassane Sadok
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Laura Grigori, Frédéric Magoulès

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations différentielles algébriques

Systèmes linéaires

Décomposition (mathématiques)

Mots clés libres

Décomposition de domaine

Accélération de suites vectorielles

Quasi-Newton

Systèmes non linéaires

Méthodes asynchrones

Domain decomposition

Acceleration of vector sequences

Quasi-Newton

Nonlinear systems

Asynchronous methods

Résumé

La résolution des équations différentielles (EDP/EDO/EDA) est au cœur de la simulation de phénomènes physiques. L'accroissement de la taille et de la complexité des modèles nécessite la mise en œuvre de méthodes de résolution robustes et performantes en termes de temps de calcul. L'objectif de cette thèse est de proposer des méthodes pour accélérer la résolution des équations différentielles par des méthodes de décomposition de domaine. On considère d'abord les méthodes de décomposition de domaine de Schwarz pour la résolution de grands systèmes linéaires issus de la discrétisation d'EDP. Afin d'accélérer la convergence de la méthode de Schwarz, on propose une approximation de l'opérateur de propagation d'erreur. Cette approximation respectera la structure de l'opérateur exact, ce qui conduira à une réduction très significative des temps de calcul sur le problème des écoulements dans les milieux poreux hétérogènes. La deuxième contribution concerne la résolution de la suite de systèmes linéaires provenant de l'intégration en temps de problèmes non linéaires. On propose deux approches en utilisant le fait que la matrice jacobienne ne varie que peu d'un système à l'autre. Premièrement, on applique la mise à jour de Broyden au préconditionneur RAS (Restricted Additive Schwarz) au lieu de recalculer les factorisations LU. La deuxième approche consiste à dédier des processeurs a la mise à jour partielle et asynchrone du préconditionneur RAS. Des résultats numériques sur le problème de la cavité entrainée et sur un problème de réactiondiffusion montrent qu'une accélération super linéaire peut être obtenue. La dernière contribution a pour objet la résolution simultanée des problèmes non linéaires de pas de temps consécutifs. On étudie le cas où la méthode de Broyden est utilisée pour résoudre ces problèmes non linéaires. Dans ce cas, la mise à jour de Broyden peut être propagée d'un pas de temps à l'autre. La parallélisation à travers les pas de temps est également appliquée a la recherche d'une solution initiale consistante pour les équations différentielles algébriques

Solving differential equations (PDEs/ODEs/DAEs) is central to the simulation of physical phenomena. The increase in size and complexity of the models requires the design of methods that are robust and efficient in terms of computational time. The aim of this thesis is to design methods that accelerate the solution of differential equations by domain decomposition methods. We first consider Schwarz domain decomposition methods to solve large-scale linear systems arising from the discretization of PDEs. In order to accelerate the convergence of the Schwarz method, we propose an approximation of the error propagation operator. This approximation preserves the structure of the exact operator. A significant reduction of computational time is obtained for the groundwater flow problem in highly heterogeneous media. The second contribution concerns solving the sequence of linear systems arising from the time-integration of nonlinear problems. We propose two approaches, taking advantage of the fact that the Jacobian matrix does not change dramatically from one system to another. First, we apply Broyden’s update to the Restricted Additive Schwarz (RAS) preconditioner instead of recomputing the local LU factorizations. The second approach consists of dedicating processors to the asynchronous and partial update of the RAS preconditioner. Numerical results for the lid-driven cavity problem, and for a reaction-diffusion problem show that a super-linear speedup may be achieved. The last contribution concerns the simultaneous solution of nonlinear problems associated to consecutive time steps. We study the case where the Broyden method is used to solve these nonlinear problems. In that case, Broyden’s update of the Jacobian matrix may also be propagated from one time step to another. The parallelization through the time steps is also applied to the problem of finding a consistent initial guess for differential-algebraic equations