Inégalités fonctionnelles et convexité

• Auteur / Autrice : Van Hoang Nguyen
• Direction : Dario Cordero-Erausquin
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2013
• Etablissement(s) : Paris 6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Inégalités (mathématiques)

Transport optimal de mesure

Analyse fonctionnelle

Riemann, Variétés de

Résumé

Chapter 1, we prove a quantitative version of the Shannon-Stam’s entropy inequality. In application of this result, we show that the KLS’s conjecture implies the hyperplane conjecture. Chapter 2, we use the Hormander L^2 method to prove the generalizations of the dimensional variance inequality obtained recently by Bobkov and Ledoux. Using these generalizations, we obtain the reverve Holder inequalities, the Brascamp-Lieb inequality for the log-concave density, and the weighted Brascamp-Lieb inequality for the convex measure. Chapter 3, we use the methode of optimal transport to prove a family of the sharp weighted Sobolev and sharp weighted Gagliardo-Nirenberg inequalities on the half-space. Using the sharp weighted Sobolev inequalities with the method of reduction of the dimension, we obtain and generalize the sharp Gagliardo-Nirenberg inequalities on the euclidean space.

Chapitre 1, nous démontrons une version quantitative de l’inégalité d’entropie de Shannon-Stamp pour les vecteurs aléatoires log-concaves. En appliquant ce resultat, nous montrons que la conjecture de KLS implique la conjecture d’hyperplan. Chapitre 2, nous utilisons la méthode L^2 de Hormander pour démontrer des généralisations de l’inégalité de variance obtenue récemment par Bobkov et Ledoux. En appliquant, nous retrouvons des inégalités inverse de Holder, l’inégalité de Brascamp-Lieb pour les densités log-concaves, et l’inégalité de Brascamp-Lieb à poids pour les mesures convexes. Chapitre 3, nous utilisons le méthode du transport de mesure pour démontrer les inégalités de Sobolev et de Gagliardo-Nirenberg à poids optimales sur le demi-espace. En utilisans les inégalités de Sobolev à poids avec la méthode de reduction de la dimension, nous obtenons et étendons les inégalités de Gagliardo-Nirenberg sur l’espace euclidienne