Equations d'évolution sur certains groupes hyperboliques

Evolution equation on some hyperbolic groups

• Auteur / Autrice : Alaa Jamal Eddine
• Direction : Jean-Philippe Anker, Vittoria Pierfelice
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 06/12/2013
• Etablissement(s) : Orléans
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Informatique, Physique Théorique et Ingénierie des Systèmes (Centre-Val de Loire)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire mathématiques - analyse, probabilités, modélisation (Orléans ; 2012-2017) - Mathématiques - Analyse, Probabilités, Modélisation - Orléans
• Jury : Président / Présidente : Aline Bonami
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jean-Philippe Anker, Vittoria Pierfelice, Aline Bonami, Jacques Faraut, Alberto Setti, Maria Gabriella Kuhn
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jacques Faraut, Alberto Setti

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations d'onde

Schrödinger, Équation de

Équation de la chaleur

Groupes hyperboliques

Équations d'évolution

Mots clés libres

Arbre homogène

Graphes symétriques

Equation des ondes

Equation de la chaleur

Equation de Schrödinger

Estimations de Strichartz

Homogeneous tree

Symmetric graph

Wave equation

Heat equation

Schrödinger equation

Strichartz estiamtes

Résumé

Cette thèse porte sur l’étude d’équations d’évolution sur certains groupes hyperboliques, en particulier, nous étudions l’équation de la chaleur, l’équation de Schrödinger et l’équation des ondes modifiée, d’abord sur les arbres homogènes, ensuite sur des graphes symétriques. Sur les arbres homogènes, nous montrons que, sous une hypothèse d’invariance de jauge, on a existence globale des solutions de l’équation de Schrödinger ainsi qu’un phénomène de ’scattering’ pour des données arbitraires dans l’espace des fonctions de carré intégrable sans restriction sur le degré de la non-linéarité, contrairement au cas euclidien ou au cas hyperbolique. Nous généralisons ensuite ce résultat sur les graphes symétriques de degré (k − 1)(r − 1) sous la condition k < r. Un de nos principaux résultats sur les graphes symétriques est l’estimation du noyau de la chaleur associé au laplacien combinatoire. Pour finir, nous établissons une expression explicite des solutions de l’équation des ondes modifiée sur les graphes symétriques.

This thesis focuses on the study of evolution equations on certain hyperbolic groups, in particular, we study the heat equation, the Schrödinger equation and the modified wave equation first on homogeneous trees then on symmetric graphs. In the homogeneous trees case, we show that under a gauge invariance condition, we have global existence of solutions of the Schrödinger equation and scattering for arbitrary data in the space of square integrable functions without any restriction on the degree of the nonlinearity, in contrast to the euclidean and hyperbolic space cases. We then generalize this result on symmetric graphs of degree (k − 1)(r − 1) under the condition k < r . One of our main results on symmetric graphs is the estimate of the heat kernel associated to the combinatorial laplacian. Finally, we establish an explicit expression of solutions of the modified wave equation on symmetric graphs.