Déformation et construction de surfaces minimales

Deformation and construction of minimal surfaces

• Auteur / Autrice : Antoine Coutant
• Direction : Frank Pacard
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 05/12/2012
• Etablissement(s) : Paris Est
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-2015)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Analyse et de Mathématiques Appliquées - LAMA
• Jury : Président / Présidente : Benoit Daniel
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Frank Pacard, Gérard Besson, Laurent Hauswirth
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Martin Traizet, Emmanuel Hebey

Mots clés

Mots clés contrôlés

Riemann, Surfaces de

Géométrie de Riemann

Espaces homogènes

Surfaces minimales

Mots clés libres

Surface minimale

Espace homogène

Géométrie riemanienne

Surface de Scherk

Méthode de recollement

Surface de Riemann

Minimal manifold

Homogeneous space

Riemannian geometry

Scherk's surface

Riemann's surface

Gluing method

Résumé

L'objet de cette thèse consiste en la construction de nouveaux exemples de surfaces (ou hypersurfaces) minimales dans les espaces euclidiens R³, R^n x R avec n≻2 ou dans l'espace homogène S² x R. Nous prouvons l'existence de surfaces minimales dans R³ arbitrairement proches d'un polygone convexe. Nous prouvons également l'existence d'hypersurfaces minimales de type Riemann dans R^n x R, n≻2. Celles-ci peuvent être interprétées comme étant une famille d'hyperplans horizontaux (des bouts) reliés les uns aux autres par des morceaux de caténoïdes déformés (des cous). Nous donnons un résultat général pour ce type d'objet quand il est périodique ou bien quand il a un nombre fini de bouts horizontaux. Cela se fait sous certaines hypothèses de contraintes sur les forces intervenant dans la construction. Nous finissons en donnant plusieurs exemples, notamment l'existence d'une hypersurface de type Wei verticale qui n'existe pas en dimension 3. Nous donnons aussi la preuve de l'existence d'une surface minimale de type Riemann dans S² x R telle que deux bouts sphériques sont reliés entre eux alternativement par 1 cou et 2 cous. Là aussi, nous mettons en évidence le rôle joué par les forces lors de la construction. De même que dans le chapitre précédent, la méthode repose sur un processus de recollement. Nous donnons une description très précise de la caténoïde et la surface de Riemann dans S² x R. Enfin, nous établissons l'existence dans R^n x R d'hypersurfaces de type Scherk lorsque n≻2

This thesis is devoted to the construction of numerous examples of minimal surfaces (or hypersurfaces) in the 3-Euclidean space, R^n x R with n≻2 or in the homogeneous space S² x R . We prove the existence of minimal surfaces in R³ as close as we want of a convex polygon. We prove the existence of minimal hypersurfaces in R^n x R, n≻2, whose have Riemann's type. These ones could be considered as a family of horizontal hyperplanes (the ends) which are linked to each other by pieces of deformed catenoids (the necks). We provide a general result in the case simply-periodic together with the case of a finite number of hyperplanar ends. Our construction lies on some conditions associates with the forces that characterize the different configurations. We end with giving some examples ; in particular, we exhibit the existence of vertical Wei example that does not exists in the 3-dimensional case. We also prove the existence of the analogous of the Wei example in S² x R. The surface is such that two spherical ends are linked by 1 neck and 2 necks alternatively. Here again, we highlight the role that the forces play in the construction. Moreover, like in the previous chapter, the method lies on a gluing process. We give an accurate description of the catenoid and the Riemann's minimal example in S² x R. Finally, we demonstrate the existence of Scherk type hypersurfaces in R^n x R when n≻2