Equirépartition des orbites du groupe affine sur une surface de Veech

• Auteur / Autrice : Sylvie Jourdan
• Direction : Pascal Hubert
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathematiques
• Date : Soutenance le 11/03/2011
• Etablissement(s) : Aix-Marseille 3
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques et Informatique de Marseille (Marseille ; 1994-....)

Mots clés

Mots clés contrôlés

Distribution uniforme (théorie des probabilités)

Groupes algébriques affines

Plans de translation

Mots clés libres

Surface de translation

Billards

Groupe de Veech

Groupe affine

Équirépartition

Espace modulaire

Translation surface

Billiards

Veech group

Affine group

Equidistribution

Modular space

Résumé

Dans ce mémoire, nous nous intéressons aux surfaces de translation. Ce sont des surfaces compactes munies d'une métrique plate, qui possèdent des singularités coniques et sur lesquelles, on peut choisir une direction verticale. De manière équivalente, une surface de translation est aussi une 1-forme holomorphe sur une surface de Riemann. Des exemples majeurs de telles surfaces sont les surfaces obtenues par “ dépliage ” de billards rationnels.Nous identifions deux surfaces de translation images l'une de l'autre par une isométrie préservant l'orientation et la direction verticale. La classe d'une surface par cette relation d'équivalence est encore une surface de translation que l'on appelle surface réduite de la surface de départ.Nous définissons les difféomorphismes affines d'une surface de translation comme les difféomorphismes de cette surface dont la différentielle est constante. Ils forment un groupe appelé le groupe affine de la surface.Le groupe SL(2,IR) agit linéairement sur l'ensemble des surfaces de translation. Le stabilisateur de la surface réduite d'une surface de translation est appelé le groupe de Veech de la surface de translation. Les éléments du groupe de Veech sont en fait les matrices jacobiennes des difféomorphismes affines. Ce groupe est un outil indispensable dans l'étude des surfaces de translation et notre travail en est une illustration. Si le groupe de Veech est un réseau de SL(2,IR), la surface est appelée surface de Veech.L'objectif de ce mémoire est de démontrer que, sur une surface de Veech donnée, les orbites denses du groupe affine s'équirépartissent sur la surface. Nous précisons bien sûr la notion d'équirépartition utilisée. Il est important de noter que les orbites qui ne sont pas denses sont finies et qu'il y en a au plus un nombre dénombrable. Ce résultat est d'abord établi pour la surface réduite de la surface de translation et permet d'en déduire le théorème pour la surface de départ.

In this thesis, we study translation surfaces. These are compact surfaces equipped with a flat metric and conical singularities. A vertical direction is fixed. Translation surfaces are in one to one correspondence with holomorphic 1-forms on Riemann surfaces. Important examples of translation surfaces arise from unfolding billiards in rational polygons.Two translation surfaces are identified if they are obtained one from the other by an isometry preserving the orientation and the vertical direction. The equivalence class of a surface is still a translation surface called the reduced surface. Affine diffeomorphisms on a translation surface are diffeomorphisms whose differential is constant. They form a group called the affine group. The group SL(2,R) acts linearly on the set of translation surfaces. The stabilizer of the reduced surface is the Veech group of the translation surface. The elements of the Veech group are in fact the derivative of the affine diffeomorphisms. This group is of great importance in the study of translation surfaces and our work illustrate this phenomenon. If the Veech group is a lattice in SL(2,R), the surface is called a Veech surface. The goal of this thesis is to prove that dense orbit of the affine group on a Veech surface are equidistributed in the surface. One has to explain precisely what equidistribution means in this context. It is important to notice that non dense orbits are finite and that the number of these orbits is at most countable. The result is first of all established for reduced surfaces and we deduce a general result for all surfaces.