Des structures affines à la géométrie de l'information

From affines structures to the Information Geometry

• Auteur / Autrice : Paul Mirabeau Byande
• Direction : Michel Nguiffo Boyom
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 07/12/2010
• Etablissement(s) : Montpellier 2 en cotutelle avec Université de Yaoundé I
• Ecole(s) doctorale(s) : Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; École Doctorale ; 2009-2014)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (Montpellier ; 2003-....)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Michel Nguiffo Boyom, Jean-Marie Morvan, Lionel Thibault, Frederic Barbaresco, Frank Nielsen
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Dmitry Millionshchikov, Robert Wolak

Mots clés

Mots clés contrôlés

Statistique mathématique

Modèles mathématiques

Cohomologie

Mots clés libres

KV-cohomologie

T-plongement

Polynôme de Maurer-Cartan

Modèle statistique

Alpha connexion

Métrique de Fisher

Left-symmetric algebras

Fisher metric

Statistics model

Maurer-Cartan Polynomial

Résumé

Ce mémoire traite des structures affines et de leur rapport à la géométrie de l'information. Nous y introduisons la notion de T-plongement. Il permet de montrer que l'ensemble des structures affines complètes du tore T^2 est une courbe projective de RP^2. En substituant à la contrainte topologique (compacité) une contrainte dynamique (action canonique de Aff_0(1) dans le démi-plan de Poincaré H^2)on démontre que l'ensemble S des structures Aff_0(1)-invariantes dans H^2 est une surface projective connexe dans RP^5 ne contenant aucun point complet. Un de mes résultats remarquables concerne la classification des éléments de S pour la relation d'isomorphisme.Nous exploitons un outil récent: la KV-cohomologie. Outre le rôle fondamental joué par la KV-cohomologie dans l'étude des points rigides dans certains modules des structures affines, elle nous a permis d'aborder avec succès une problématique qui est au centre de la géométrie de l'information. Cette problématique concerne la détermination des structures affines invariantes dans les variétés modèles statistiques qui sont invariantes par toute transformation non singulière de l'espace des paramètres. Celles-ci ont une signification pertinente en statistique.

This dissertation deals with modules of affinely flat structure and with their relationships between these structures and the information geometry. The so-called T-embedding is used to prove that the set of complete locally flat structures is an irreducible projective curve in RP^2. In the same way we prove that the set S of Aff_0(1)-invariant locally flat structure in H^2 is a connected projective surface in RP^5, which does not contain any complete point. We also give the classification up to isomorphism of S. We use the KV-cohomology to study the rigidity problem for locally flat structures. The main concern of information geometry is the study of geometrical invariants in statistical models. We perform the KV-cohomology to bring in control this problem.