Opérades de Koszul et homologie des algèbres en caractéristique positive

Koszul operads and homology of algebras in positive characteristic

• Auteur / Autrice : Éric Hoffbeck
• Direction : Benoit Fresse
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques pures
• Date : Soutenance le 08/09/2010
• Etablissement(s) : Lille 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Obstructions, Théorie des

Algèbres de Koszul

Homologie

Opérades

Mots clés libres

Dualité de Koszul

Résumé

Cette thèse s’inscrit dans l’étude des catégories d’algèbres associées aux opérades. On développe des outils d’algèbre homologique et une méthode générale de classification (à homotopie près) des morphismes entre algèbres sur une opérade.La dualité de Koszul des opérades, introduite par V. Ginzburg et M. Kapranov, permet de construire des théories homologiques appropriées pour des catégories d’algèbres associées à certaines bonnes opérades – les opérades de Koszul. On donne dans la première partie de cette thèse un critère effectif pour qu’une opérade soit de Koszul : on montre qu’une opérade, linéairement engendrée par une base, est de Koszul dès lors que l’on peut ordonner sa base de façon compatible avec la structure de composition opéradique – on parle alors d’opérade de Poincaré-Birkhoff-Witt.La théorie originale de Ginzburg-Kapranov s’applique en caractéristique nulle seulement. On construit une théorie homologique adaptée - la Gamma-homologie - pour l’étude des catégories d’algèbres différentielles graduées associées à une opérade de Koszul en toute caractéristique. Cette théorie généralise la Gamma-homologie définie par A. Robinson et S. Whitehouse pour la catégorie des algèbres commutatives.On montre que la Gamma-homologie opéradique contient l’obstruction à la réalisation de morphismes entre algèbres sur une opérade, ainsi que l’obstruction à la réalisation d’homotopies entre morphismes, et donne de la sorte un outil général pour classifier les morphismes entre algèbres sur une opérade.

This thesis is concerned with the study of categories of algebras associated to operads. We develop tools of homological algebra and a general method to classify morphisms in the homotopy category of algebras over an operad.The Koszul duality of operads, introduced by V. Ginzburg and M. Kapranov, allows us to construct suitable homology theories for categories of algebras associated to some good operads – the Koszul operads. We give in the first part of this thesis an effective criterion to prove that an operad is Kozul : we show that an operad, linearly generated by a basis, is Koszul as soon as we can order its basis compatibly with the operadic composition structure – we call such operads Poincaré-Birkhoff-Witt operads.The original theory of Ginzburg and Kapranov works in characteristic zero only. We construct a homology theory - the Gamma-homology - for the study of the categories of the differential graded algebras associated to a Koszul operad in any characteristic. This theory generalizes the Gamma-homology introduced by A. Robinson and S. Whitehouse for the category of commutative algebras.We show that our Gamma-homology contains the obstruction to the realization of morphisms between algebras over an operad, and also the obstruction to the realization of homotopies between morphisms. We obtain in this way a general tool to classify morphisms between algebras over an operad.