Analysis of stationary and non-stationary long memory processes : estimation, applications and forecast

• Auteur / Autrice : Zhiping Lu
• Direction : Dominique Guégan
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques, Mathématiques financières et statistiques appliquées
• Date : Soutenance en 2009
• Etablissement(s) : Cachan, Ecole normale supérieure

Mots clés

Mots clés contrôlés

Moindres carrés

Monte-Carlo, Méthode de

Ondelettes

Mots clés libres

Processus de Gegenbauer

Processus longue mémoire

Résumé

Dans cette thèse, on considère deux types de processus longues mémoires : les processus stationnaires et non-stationnaires. Nous nous consacrons à l’étude de leurs propriétés statistiques, les méthodes d’estimation, les méthodes de prévision et les tests statistiques. Les processus longue mémoire stationaires ont été largement étudiés au cours des dernières décennies. Il a été démontré que des processus longue mémoire ont des propriétés d’autosimilarité, qui sont importants pour l’estimation des paramètres. Nous passons en revue les propriétés d’auto-similairité des processus longue mémoire en temps continu et en temps discret. Nous proposons deux propositions montrant que les processus longue mémoire sont asymptotiquement auto-similaires du deuxième ordre, alors que processus courte mémoire ne sont pas asymptotiquement auto-similaires du deuxième ordre. Ensuite, nous étudions l’auto-similairité des processus longue mémoire spécifiques tels que les processus GARMA à k facteurs et les processus GIGARCH à k facteurs. Nous avons également étudié les propriétés d’auto-similarités des modèles heteroscedastiques et des processus avec des sauts. Nous faisons une revue des méthodes d’estimation des paramètres des processus longue mémoire, par méthodes paramétriques (par exemple, l’estimation par maximum de vraisemblance et estimation par pseudo-maximum de vraisemblance) et les méthodes semiparamétriques (par exemple, la méthode de GPH, la méthode de Whittle, la méthode de Robinson). Les comportements de consistance et de normalité asymptotique sont également étudiés pour ces estimateurs. Le test sur l’ordre fractionnaire intégré de la racine unité saisonnière et non-saisonnière des processus longue mémoire stationnaires est très important pour la modélisation des series économiques et financières. Le test de Robinson (1994) est largement utilisé et appliqué aux divers modèles longues mémoires bien connus. A partir de méthode de Monte Carlo, nous étudions et comparons les performances de ce test en utilisant plusieurs tailles d’échantillons. Ce travail est important pour les praticiens qui veulent utiliser le test de Robinson. Dans la pratique, lorsqu’on traite des données financières et économiques, la saisonnalité et la dépendance qui évolvent avec le temps peuvent souvent être observées. Ainsi une sorte de non-stationnarité existe dans les données financières. Afin de prendre en compte ce genre de phénomènes, nous passons en revue les processus non-stationnaires et nous proposons une nouvelle classe de processus stochastiques: les processus de Gegenbauer à k facteurs localement stationnaire. Nous proposons une procédure d’estimation de la fonction de paramètres en utilisant la transformation discrète en paquets d’ondelettes (DWPT). La robustesse de l’algorithme est étudiée par simulations. Nous proposons également des méthodes de prévisions pour cette nouvelle classe de processus non-stationnaire à long mémoire. Nous dennons des applications sur le terme de la correction d’erreurs de l’analyse cointégration fractionnaire de l’index Nikkei Stock Average 225 et nous étudions les prix mondiaux du pétrole brut.

In this thesis, we consider two classes of long memory processes: the stationary long memory processes and the non-stationary long memory processes. We are devoted to the study of their probabilistic properties, estimation methods, forecast methods and the statistical tests. Stationary long memory processes have been extensively studied over the past decades. It has been shown that some long memory processes have the properties of self-similarity, which are important for parameter estimation. We review the self-similar properties of continuous-time and discrete-time long memory processes. We establish the propositions that stationary long memory process is asymptotically second-order self-similar, while stationary short memory process is not asymptotically second-order self-similar. Then we extend the results to specific long memory processes such as k-factor GARMA processes and k-factor GIGARCH processes. We also investigate the self-similar properties of some heteroscedastic models and the processes with switches and jumps. We make a review for the stationary long memory processes’ parameter estimation methods, including the parametric methods (for example, maximum likelihood estimation, approximate maximum likelihood estimation) and the semiparametric methods (for example, GPH method, Whittle method, Robinson method). The consistency and asymptotic normality behaviors are also investigated for the estimators. Testing the fractionally integrated order of seasonal and non-seasonal unit roots of the stochastic stationary long memory process is quite important for the economic and financial time series modeling. The widely used Robinson test (1994) is applied to various well-known long memory models. Via Monte Carlo experiments, we study and compare the performances of this test using several sample sizes, which provide a good reference for the practitioners who want to apply Robinson’s test. In practice, seasonality and time-varying long-range dependence can often be observed and thus some kind of non-stationarity exists inside the economic and financial data sets. To take into account this kind of phenomena, we review the existing non-stationary processes and we propose a new class of non-stationary stochastic process: the locally stationary k-factor Gegenbauer process. We describe a procedure of estimating consistently the time-varying parameters with the help of the discrete wavelet packet transform (DWPT). The consistency and asymptotic normality of the estimates are proved. The robustness of the algorithm is investigated through simulation study. We also propose the forecast method for this new non-stationary long memory processes. Applications and forecasts based on the error correction term in the error correction model of the Nikkei Stock Average 225 (NSA 225) index and theWest Texas Intermediate (WTI) crude oil price are followed.