Rigidité des hypersurfaces en géométrie riemannienne et spinorielle : Aspect extrinsèque et intrinsèque

Rigidity of hypersurfaces in Riemannian and spinorial geometry : extrinsic and intrinsic aspects

• Auteur / Autrice : Julien Roth
• Direction : Oussama Hijazi, Jean-François Grosjean
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2006
• Etablissement(s) : Nancy 1
• Partenaire(s) de recherche : autre partenaire : Université Henri Poincaré Nancy 1. Faculté des sciences et techniques

Mots clés

Mots clés contrôlés

Dirac, Équation de

Laplacien

Hypersurfaces

Analyse spinorielle

Géométrie de Riemann

Résumé

La principale motivation de cette thèse est de mettre en relation les aspects extrinsèque et intrinsèque des hypersurfaces d'espaces modèles au moyen de résultats de rigidité. Dans un premier temps, nous donnons des résultats de pincment pour des minorations du rayon extrinsèqueen fonction des r-courbures moyennes dans les trois espaces modèles. Nous montrons qu'en cas de presque-égalité dans l'une de ces minorations, l'hypersurface est proche d'une sphère (en distance de Hausdorff ou difféomorphe ou quasi-isométrique). Nous obtenons ensuite des résultats de pincement comparables pour des majorations de la première valeur propre du laplacien dans l'espace euclidien, ce qui nous permet d'obtenir des résultats concernant les hypersurfaces presque Einstein. Dans un second temps, nous donnons une caractérisation spinorielle des surfaces dans les 3-variétés homogènes à groupe d'isométries de dimension 4. Plus précisément, nous montrons que l'existence d'un champ de spineurs spécial sur la surface est une condition nécessaire et suffisante pour que cette surface soit immergée isométriquement dans une telle 3-variété homogène.

In this thesis, we study the relation between extrinsic and intrinsic aspects for hypersurfaces of space forms by the way of rigidity results. First, we prove some pinching results for lower bounds of the extrinsic radius in terms of the r-th mean curvatures. We show that if the equality is almost achieved for one of these inequalities, then the hypersurface is close to a sphere (for the Hausdorff distance or diffeomorphic and almost-isometric). Then, we prove such results for upper bounds of the first eigenvalue of the Laplacian in Euclidean space, which give us some results about almost Einstein hypersurfaces. In a second time, we give a spinorial charcterization of surfaces into 3-homogenous manifolds with 4-dimensional isometry group. Namely, we show that the existence of a special spinor field on the surface is a necessary and sufficient condition to be isometrically immersed in such a 3-homogeneous manifold.