Sommes d'une fonction entière de certains espaces de type L2 à poids

• Auteur / Autrice : Bruno Brive
• Direction : Anne Duval
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance en 2000
• Etablissement(s) : Lille 1

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de Hilbert

Taylor, Séries de

Fonctions (mathématiques)

Sommabilité

Résumé

Lorsque deux fonctions entières f et g vérifient l'égalité f(z + 1) f(z) = g(z) pour tout z complexe, on dit que f est la somme de g. Il est connu que toute fonction entière d'ordre donne admet une somme entière (Guichard, 1887) de même ordre (Whittaker, 1935). Nous nous intéressons un peu plus généralement à l'équation fonctionnelle f(z + ) f(z) = g(z) ou est complexe. Si g vérifie une condition de croissance à l'infini de la forme g(z) = o (e s | z | ), peut-on trouver f entière vérifiant de même f(z) = o (e t | z | ), avec des relations précises données sur les valeurs relatives de , , s, t et ? Nous abordons cette question du point de vue de l'analyse fonctionnelle. D'une part nous considérons l'opérateur s f(z) = f(z + ) f(z). D'autre part nous relions les conditions de croissance sur les fonctions à des conditions d'intégrabilité dans une classe d'espaces L2 à poids que nous définissons et notons h(s,). Au cours de l'étude de ces espaces, nous donnons le noyau d'Aronszajn-Bergman d'une classe plus générale d'espaces L2 à poids : celle ou ce dernier ne dépend que du module de la variable. Nous étudions ensuite l'action des opérateurs de translation t f(z) = f(z + ) sur les espaces h(s,). Enfin nous donnons des conditions suffisantes sur les valeurs relatives de , , s, t et pour que S induise un opérateur non-borne, ferme, à domaine dense et surjectif de h(t,) dans h(s,). Pour cela, nous utilisons une méthode d'estimations a priori, c'est-à-dire que nous démontrons l'existence d'une constante c > 0 telle que l'inégalité |g| c |s* g| ait lieu pour toute fonction g du domaine de l'opérateur adjoint s*. L'intérêt des espaces h(s,) est de ramener cette inégalité à une inégalité entre séries, dont les termes dérivent des coefficients de Taylor des fonctions. Nous donnons aussi une application a l'équation f(z + ) af(z) = g(z) avec à complexe.