Geometrie hyperbolique quaternionienne

• Auteur / Autrice : LOUIS PERNAS
• Direction : Jean-Pierre Otal
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et techniques communes
• Date : Soutenance en 1999
• Etablissement(s) : Paris 11

Résumé

Nous definissons un operateur t d'ordre trois sur les varietes hypercomplexes, ceci nous permet d'etudier differents aspects de l'analyse sur ces varietes. Cet operateur est obtenu par composition des conjugues de la differentiation exterieure par les trois structures complexes orthogonales, t presente un grand nombre d'analogies avec l'operateur d c de l'analyse complexe. Par exemple, en analyse quaternionienne l'holomorphie au sens de fueter peut etre caracterisee en terme de formes differentielles en utilisant l'operateur t, de cette caracterisation nous deduisons la formule de cauchy, le theoreme de morera pour ces fonctions ainsi que des proprietes de stabilite. Dans le cadre des varietes kaelher-quaternionique, l'operateur t est aussi interessant, il ne depend nullement d'un choix particulier d'une structure hypercomplexe subordonnee a la structure quaternionique consideree, la 4-forme fondamentale derive localement d'une 1-forme potentiel au sens de t. Nous donnons plusieurs modeles pour l'espace hyperbolique quaternion et nous decrivons les principaux objets geometriques, nous donnons des formules calculatoires, en particulier nous donnons l'expression d'un potentiel de la 4-forme. Nous etudions la structure du bord a l'infini et des horospheres, ils portent une structure de heisenberg que nous decrivons, ceci nous permet de definir un birapport au sens des quaternions pour les points a l'infini. Nous adaptons egalement l'invariant angulaire de cartan au cas de l'espace hyperbolique quaternionien.