Apprentissage de solveurs neuronaux et modèles génératifs pour les EDPs paramétriques

Meshless neural solvers and generative operators for parametric PDEs

• Auteur / Autrice : Lise Le Boudec
• Direction : Patrick Gallinari, Nicolas Baskiotis
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Sciences et technologies de l'information et de la communication
• Date : Soutenance le 10/06/2026
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Informatique, télécommunications et électronique de Paris (1992-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut des systèmes intelligents et de robotique (Paris ; 2009-....)
• Jury : Président / Présidente : Gérard Biau
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Romuald Elie
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mathilde Mougeot, Ronan Fablet
• DOI : 10.70675/065a80f7zaa4dz4c4czabf6ze4363678f047

Mots clés

Mots clés contrôlés

Apprentissage profond

Réseaux neuronaux (informatique)

Systèmes dynamiques

Équations aux dérivées partielles

Mots clés libres

Deep learning

Operateur

EDP paramétriques

Physics-Based deep learning

Operator learning

Parametric PDE

Surrogates models

Résumé

L'apprentissage profond s'est imposé comme un outil puissant pour modéliser et résoudre des Équations aux Dérivées Partielles (EDP) complexes en calcul scientifique. Que les connaissances physiques soient extraites de données ou d'équations, les méthodes existantes font face à plusieurs limitations concernant leurs capacités de généralisation et leur coût de calcul. La plupart des méthodes restent limitées à des EDP simples ou nécessitent des calculs coûteux pour s'adapter à de nouveaux paramètres d'EDP. D'une part, les paradigmes d'apprentissage automatique utilisant les connaissances physiques rencontrent des problèmes d'optimisation et de convergence en raison de la nature non linéaire des équations régissant les systèmes. D'autre part, les méthodes basées sur les données (data-driven) manquent de modèles capables de passer à l'échelle et de traiter les dynamiques turbulentes. L'objectif central de cette thèse est de surmonter ces limitations en développant des architectures neuronales robustes, capables de passer à l'échelle et capable de généraliser sur des systèmes physiques. Ce manuscrit présente trois contributions principales qui s'attaquent à ces défis, en proposant des méthodologies dédiées étayées par des évaluations empiriques. Premièrement, nous introduisons un Solveur Neuronal qui intègre des connaissances physiques explicites pour limites les problèmes d'optimisation. En exploitant les gradients physiques ainsi que les propriétés connues des EDP, ce solveur apprend une correction dédiée pour la direction de descente, améliorant substantiellement la convergence et la stabilité de l'optimisation du résidu de l'EDP. Ensuite, nous passons à un paradigme basé sur les données pour améliorer la généralisation à des paramètres physiques variables. Nous proposons ENMA, un modèle génératif autorégressif continu spécifiquement conçu pour traiter les EDP paramétriques sur des ensembles de points non réguliers. Enfin, nous introduisons ECHO, un modèle génératif scalable (capable de passer à l'échelle) pour résoudre efficacement les EDP paramétriques sur des grilles très denses. ECHO utilise une architecture encodeur-décodeur efficace basée sur des convolutions continues couplé à un modèle utilisant du Flow Matching. Cela permet au modèle de capturer des dynamiques spatio-temporelles complexes et de générer des trajectoires entières en une seule passe (one-shot), atteignant des résolutions allant jusqu'à 20 millions de points. Ces travaux font progresser la conception architecturale des opérateurs neuronaux et des solveurs neuronaux physiques vers un développement et un champ d'application plus vastes.

Deep learning has emerged as a powerful tool for modeling and solving complex Partial Differential Equations (PDEs) in scientific computing. Whether physical knowledge is extracted from data or governing equations, existing methods face several issues regarding their generalization capabilities and computational cost. Most methods remain limited to simple PDEs or require costly computation to adapt to new PDE parameters. On one hand, physics-informed machine learning paradigms frequently encounter severe optimization bottlenecks and convergence issues due to the highly non-linear nature of the governing equations. On the other hand, data-driven methods lack scalable methodologies capable of handling turbulent dynamics. The central objective of this thesis is to overcome these limitations by developing robust, scalable, and generalizable neural architectures for physical systems. This manuscript presents three main contributions that tackle these challenges, proposing dedicated methodologies supported by empirical evaluations. First, we introduce a Neural Solver that integrates explicit physical knowledge to address optimization failures. By leveraging gradients from physics-informed losses alongside known PDE properties, this solver learns a dedicated correction for the descent direction, substantially improving the convergence and stability of PDE-residual optimization. Second, we shift to a data-driven paradigm to address the generalization challenge across varying physical parameters. We propose ENMA, a continuous autoregressive generative modeling formulation specifically designed to handle parametric PDEs on unstructured point sets. Finally, we introduce ECHO, a highly scalable generative model for efficiently solving parametric PDEs on very dense grids. ECHO utilizes an efficient encoder-decoder architecture based on continuous convolutions within a Flow Matching framework. This allows the model to capture complex spatio-temporal dynamics and generate entire trajectories in a one-shot manner, scaling to resolutions of up to 20 million points. Together, these works advance the architectural design of neural operators and physical neural solvers towards broader development and applicability.