Analyse différentielle de courbes et surfaces fractales

Differential analysis of fractal curves and surfaces

• Auteur / Autrice : Clément Poull
• Direction : Christian Gentil, Céline Roudet, Michaël Roy
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 11/12/2025
• Etablissement(s) : Dijon, Université Bourgogne Europe
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences Physiques pour l'Ingénieur et Microtechniques (Besançon ; 1991-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'Informatique de Bourgogne (LIB) (Dijon)
• Jury : Président / Présidente : Romain Raffin
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mickaël Ribardière, Éric Guérin, Dmitry Sokolov, Pooran Memari
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mickaël Ribardière, Éric Guérin
• DOI : 10.70675/696cc5d9zd4dez4c73z9c96z8579c3f960bf

Mots clés

Mots clés contrôlés

Rugosité

Géométrie différentielle

Fractales

Contrôle de la qualité

Conception assistée par ordinateur

Infographie

Courbes

Mots clés libres

Surfaces rugueuses

Corpus

Modèles fractals déterministes

Caractérisation et modélisation géométrique

Rough surfaces

Roughness

Deterministic fractal models

Geometric characterization and modeling

Résumé

Pour la représentation numérique de formes, les courbes et surfaces lisses traditionnelles ne suffisent pas à rendre compte de la complexité des objets réels.Les surfaces avec une géométrie non-lisse sont essentielles dans des domaines variés, des applications industrielles telles que le contrôle qualité et la conception assistée par ordinateur, jusqu'à l'informatique graphique, pour la génération de textures et la synthèse de terrains.A l'inverse des surfaces lisses les surfaces rugueuses présentent des propriétés d'irrégularité ou de non-différentiabilités au sens classique, ce qui empêche de les analyser ou contrôler avec les méthodes classiques.Les modèles fractals, en particulier les Systèmes de Fonction Itérées (SFI), permettent produire des objets multi-échelles qui génèrent un large éventail de surfaces irrégulières.Des travaux antérieurs sur les SFI ont défini deux concepts issus de la géométrie différentielle : les pseudo-tangentes et la pseudo-courbure.Ceux-ci étendent la notion classique de tangente et de courbure aux courbes fractales non-différentiables en autorisant des directions tangentes gauche et droite distinctes, ainsi qu'un éventail de valeurs de courbures.Le calcul de cette dernière s'effectue au moyen de la Fonction Caractéristique Différentielle (FCD), une fonction différentiable qui interpole en localement une fractale à chaque point de la courbe, et qui, étant différentiable, permet de calculer ses dérivées premières et secondes.Dans cette thèse, nous proposons une approche pour contrôler les pseudo-tangentes d'un type spécifique d'IFS, les Fonctions d'Interpolation Fractale (FIF).Nous étendons le cadre de la FCD à des IFS de complexité plus élevée et proposons une extension aux surfaces produit tensoriel générée par des IFS : la Fonction Caractéristique Différentielle de Surface (FCDS).Cela permet de calculer des pseudo-courbures analogues aux courbures classiques des surfaces fractales (par exemple la courbure Gaussienne) sur une classe restreinte de surface fractales, ainsi que de caractériser de telles surfaces comme étant continues de classe C1 ou C2.

Traditional smooth curves and surfaces often fail to capture the complexity of real-world objects.Non-smooth surface geometries are essential across diverse fields, from industrial applications such as quality control and computer-aided design, to computer graphics, for generating geometric texture and synthesising complex environments.The analysis and control of these non-smooth surfaces are challenging tasks.Fractal models, particularly Iterated Function Systems (IFS), excel at producing self-similar multiscale objects that capture a wide range of irregular surfaces.Prior research on IFS has defined two concepts that stem from differential geometry: pseudo-tangents and pseudo-curvature.These extend the classical notion of tangent and curvature to non-differentiable fractal curves by allowing distinct left and right tangent directions, as well as a range of curvature values.The computation of the latter is performed using the Differential Characteristic Function (DCF), a differentiable function that locally interpolates a fractal curve.In this thesis, we propose an approach to control the pseudo-tangents of a specific type of IFS, the Fractal Interpolation Function (FIF).We extend the DCF framework to IFS of higher complexity and propose an extension to tensor-product surfaces generated by IFS: the Surface Differential Characteristic Function (SDCF).This enables the computation of pseudo-curvatures analogous to the classical surface curvatures (e.g. Gaussian curvature) on a restricted class of fractal surfaces, and the characterisation of such surfaces as C1 or C2 continuous.