Théorie de la singularité et gravité forte : caustiques et fronts d'onde comme sondes des trous noirs

Singularity Theory and Strong Gravity : Caustics and Wave Fronts as probes into Black Holes

• Auteur / Autrice : Oscar Meneses Rojas
• Direction : Eduardo Ricardo Uribe Vargas, José-Luis Jaramillo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 11/12/2025
• Etablissement(s) : Dijon, Université Bourgogne Europe
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Carnot-Pasteur (Besançon ; Dijon ; 2012-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de Mathématiques de Bourgogne (IMB) (Dijon) (2003-....)
• Jury : Président / Présidente : Guido Carlet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Juan A. Valiente Kroon, Maxim E. Kazaryan, Isabel Cordero-Carrión, Badri Krishnan, Théo Torres, Juan José Nuno Ballesteros
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Juan A. Valiente Kroon, Maxim E. Kazaryan
• DOI : 10.70675/99066addz7219z43fbz81fez85eec7ff32cb

Mots clés

Mots clés contrôlés

Relativité générale (physique)

Trous noirs (astronomie)

Géométrie de Lorentz

Mots clés libres

Relativité générale

Théorie de Singularités

Trous noirs

Géométrie de contact et symplectique

General relativity

Singularity theory

Black Holes

Contact and symplectic geometry

Résumé

Cette thèse est consacrée à l'étude d'un résultat classique de R. Penrose qui décrit comment se forme l'horizon des événements d'un trou noir, en adaptant le formalisme des singularités en géométrie de contact (une théorie étroitement liée à certaines idées de la théorie des catastrophes) initié par V.I. Arnol'd. Nous présentons une classification et une analyse des possibilités structurelles dans lesquelles un horizon de trou noir peut naître. Dans la première partie de la thèse, nous introduisons l'horizon des événements comme une hypersurface nulle générée par des géodésiques nulles qui se croisent en entrant dans l'horizon du trou noir, formant l'ensemble des plis de l'horizon des événements, c'est-à-dire l'ensemble où « naît » l'horizon du trou noir. Nous fournissons ensuite une brève description de la théorie des singularités des applications différentiables, en mettant l'accent sur les applications lagrangiennes et légendriennes, c'est-à-dire l'étude des caustiques et des fronts. La caustique est définie comme l'ensemble des valeurs critiques d'une application lagrangienne. Le front est l'image d'une application légendrienne. L'ensemble cuspidal du front est défini comme l'ensemble des valeurs critiques d'une application légendrienne. En nous concentrant sur les fronts d'onde, ou fronts se propageant dans le espace temps, nous remarquons qu'un ensemble cuspidal est mappé sur la caustique d'un front d'onde initial. Dans la deuxième partie, nous appliquons le formalisme de la première partie de la thèse pour étudier les singularités des horizons des trous noirs dans la relativité générale. Plus précisément, nous présentons notre méthodologie pour étudier les points non réguliers dans les hypersurfaces nulles en géométrie lorentzienne comme valeurs critiques des applications légendriennes. Nous commençons par des exemples qui servent de guides pour comprendre le cadre géométrique dans l'espace-temps le plus simple : l'espace-temps de Minkowski. Enfin, nous abordons le problème de la compréhension de l'horizon des événements comme une section déconnectée de l'infini nul d'un soi-disant BigFront. La caractérisation des horizons des événements comme des images de cartes légendriennes nous permet de classer l'ensemble des plis comme l'auto-intersection et l'ensemble des cuspides (ou caustiques, dans la terminologie de Penrose) des fronts. Cette analyse établit une classification des singularités sur les ensembles de plis de l'horizon des événements. Grâce à cette classification, nous montrons que, parmi les métamorphoses typiques des fronts, il n'existe qu'un seul type de singularité pouvant se produire sur l'ensemble des plis. De plus, ce résultat détermine le type de points singuliers dans les autres composantes (connectées) du bord cuspidal de l'ensemble du BigFront ayant des connexions causales avec l'infini nul. Dans la troisième partie de la thèse, nous présentons un axe de recherche parallèle impliquant la notion de caustique dans la théorie de la gravité, qui s'est développé parallèlement à ce travail. Plus précisément, cet axe de recherche concerne l'application de la théorie des singularités à l'analyse des modes quasi normaux (QNM) des trous noirs et des opérateurs différentiels elliptiques. En ce qui concerne les trous noirs, nous introduisons le problème de la stabilité spectrale des QNM dans des espaces-temps asymptotiquement plats. Dans un découpage hyperboloïdal de l'espace-temps, le problème des QNM des trous noirs équivaut à étudier les valeurs propres de certains opérateurs non auto-adjoints. D'autre part, la reformulation semi-classique des opérateurs elliptiques relie le problème de la distribution de leurs valeurs propres (perturbées) à l'étude des valeurs critiques du symbole principal. Cette analyse nous permet de comparer les deux approches et suggère des applications potentielles de la théorie des singularités dans l'étude de la stabilité spectrale des QNM.

This thesis is devoted to the study of a classical result by R. Penrose that describes how the black hole event horizon is formed, by adapting the formalism of singularities in contact geometry (a theory closely related with some ideas of Catastrophe theory) initiated by V.I. Arnol'd. We present a classification and analysis of the structural possibilities under which a black hole horizon can born.In the first part of the thesis, we introduce the event horizon as a null hypersurface generated by null geodesics that intersect upon entering the black hole horizon, forming the crease set of the event horizon, namely the set where the black hole horizon ''is born''. We then provide a brief description of the singularity theory of differentiable maps, with emphasis on Lagrangian and Legendrian maps, namely, the study of caustics and fronts. The caustic is defined as the set of critical values of a Lagrangian map. The front is the image of a Legendrian map. The cuspidal set of the front is defined as the set of critical values of a Legendrian map. In the focus of wavefronts, or fronts propagating in spacetime, we remark that a cuspidal set is mapped onto the caustic of an initial wavefront. In the second part, we apply the formalism of the first part of the thesis to study the singularities of black hole horizons in general relativity. More specifically, we present our methodology for studying non-regular points in null hypersurfaces in Lorentzian geometry as critical values of Legendrian maps. We begin with examples that serve as guides to understand the geometric framework in the simplest spacetime: Minkowski spacetime. Finally, we address the problem of understanding the event horizon as a disconnected section from null infinity of a so-called BigFront. The characterization of event horizons as images of Legendrian maps allows us to classify the crease set as the self-intersection and cuspidal set (or caustic, in Penrose terminology) of fronts. This analysis establishes a classification of the singularities on the event horizon crease sets. With this classification, we show that, among the typical front metamorphoses, there is only one type of singularity that can occur on the crease set. Moreover, this result determines the type of singular points in the other (connected) components of the cuspidal edge of the entire BigFront with causal connections to null infinity. In the third part of the thesis, we present a parallel line of research involving the notion of caustic in gravity theory that developed alongside this work. More specifically, this line of research concerns the application of singularity theory to the analysis of black hole quasi-normal modes (QNMs) and elliptical differential operators. Regarding black holes, we introduce the problem of QNM spectral stability in asymptotically flat spacetimes. In a hyperboloidal slicing of the spacetime, the black hole QNM problem is equivalent to studying the eigenvalues of certain non-self-adjoint operators. On the hand, the semi-classical reformulation of the elliptic operators relates the problem of the distribution of their (perturbed) eigenvalues to the study of the critical values of the so-called principal symbol. This analysis enables us to compare the two approaches and suggests potential applications of singularity theory in the study of QNM spectral stability.