Quantification d'incertitude pour les problèmes inverses

Uncertainty quantification for inverse problems

• Auteur / Autrice : Nathanaël Munier
• Direction : Pierre Weiss, Emmanuel Soubies
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et applications
• Date : Soutenance le 11/12/2025
• Etablissement(s) : Université de Toulouse (2023-2025)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de délivrance conjointe : Université de Toulouse (EPE ; 2025-....)
• Jury : Président / Présidente : Marc Dambrine
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Lucie Coline Baudouin
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Vincent Duval, Kristian Bredies
• DOI : 10.70675/409b8af0zdc1ez416bz96edz9acc6737db6b

Mots clés

Mots clés contrôlés

Problèmes inverses

Calcul d'erreur

Optimisation mathématique

Mots clés libres

Problème inverse

Microscopie optique

Optimisation

Incertitude

Identifiabilité

Inverse problem

Optical microscopy

Optimization

Uncertainty

Identifiability

Résumé

Cette thèse est consacrée à la quantification d'incertitude dans les problèmes inverses. Dans une première partie, nous considérons le problème de localisation de sources en cherchant à fournir des garanties théoriques. Sachant que cette stratégie dépend fortement de la structure du problème et de l'estimateur utilisé, nous proposons dans une deuxième partie une stratégie plus générale : une méthode numérique de quantification d'incertitude applicable à tout problème inverse et estimateur.Nous commençons par explorer un problème inverse de localisation de source, motivé notamment par les applications en microscopie de localisation de molécule unique. Le dispositif de mesure est modélisé comme un signal flou par convolution avec un noyau connu, suivi d'un échantillonnage spatial. L'objectif est de retrouver la position inconnue d'une source à partir de mesures bruitées. Nous nous concentrons sur un cas simplifié mais représentatif à une seule source. Cette hypothèse est fréquent justifiée en microscopie, où les émetteurs sont activés de manière sporadique et séquentielle. Pour estimer la position de la source, nous analysons les performances de l'estimateur du maximum de vraisemblance (MLE), obtenu via un problème d'optimisation non convexe. Afin de quantifier rigoureusement l'incertitude associée au MLE, nous adoptons une approche probabiliste fondée sur des inégalités de concentration. Cela permet d'établir des garanties théoriques sur la précision de l'estimateur. Bien que le modèle soit idéalisé, il capture des difficultés essentielles communes à de nombreux systèmes d'imagerie réels et sert de base pour généraliser à des modèles multi-sources ou mal posés.Dans la deuxième partie, nous étudions la quantification d'incertitude dans les problèmes inverses via l'approximation des régions d'incertitude qui sont des ensembles de paramètres produisant des sorties proches d'une observation donnée dans une tolérance définie. Ces régions reflètent l'ambiguïté intrinsèque de ces problèmes inverses et sont au cœur de l'identifiabilité pratique locale. Pour y parvenir, nous introduisons Jackpot, un algorithme déterministe et adapté à la grande dimension conçu pour approximer localement la région d'incertitude autour d'une estimation de référence. Jackpot construit de manière déterministe une variété de faible dimension approximant cette région par rapport à la distance de Hausdorff, même en présence de modèles fortement non linéaires, non convexes et non algébriques. Contrairement aux approches symboliques (limitées aux modèles polynomiaux) ou aux méthodes par échantillonnage (coûteuses et moins fiables en grande dimension), Jackpot exploite la différentiation automatique et des méthodes d'optimisation, ce qui le rend applicable à des modèles complexes en grande dimension. Cette généralité permet d'analyser l'incertitude dans des modèles issus de systèmes dynamiques, de réseaux de neurones, etc. L'algorithme est efficace, interprétable et offre un moyen de visualiser et quantifier des régions de l'espace des paramètres indiscernables en pratique à partir d'une mesure.Enfin, en lien avec l'importance de la segmentation en microscopie, nous avons développé Sketchpose, un outil innovant pour segmenter des images biologiques (cellules, bactéries). Sketchpose utilise une approche d'apprentissage frugal, capable de segmenter avec précision à partir d'annotations partielles (tels que des traits partiels d'annotations de cellules ou d'arrière-plan), réduisant fortement le besoin d'étiquetage exhaustif. Le système s'appuie sur l'apprentissage de cartes de distance aux bordures de cellules pour propager l'information limitée et prédire les contours complets des objets. Cette approche stabilise l'apprentissage avec des données partielles.

This thesis is devoted to uncertainty quantification in inverse problems. In a first part, we consider the problem of source localization aiming to provide theoretical guarantees. Knowing that this strategy highly dependent on both the problem structure and the estimator used, in a second part, we propose a more general strategy: a numerical method for uncertainty quantification, valid for any inverse problem and any estimator.We begin by exploring an inverse problem related to source localization, with particular motivation from applications in single-molecule localization microscopy (SMLM). In this setting, the physical measurement device is modeled as a system that blurs the signal through convolution with a known kernel, followed by a spatial sampling process. The goal is to recover the unknown location of a signal source from these noisy measurements. We focus on a simplified but representative case where only a single source is present. This assumption is often justified in practical microscopy applications where emitters are sparsely and sequentially activated. To estimate the source location, we analyze the performance of the maximum likelihood estimator (MLE), which involves solving a non-convex optimization problem. To rigorously quantify the uncertainty associated with the MLE, we adopt a probabilistic approach using concentration inequalities. This allows us to derive theoretical guarantees on the estimator's precision. While the model remains idealized, it captures essential difficulties inherent to many real-world imaging systems. Moreover, it serves as a fundamental case from which more general multi-source or ill-posed models may be approached.In the second part of this work, we investigate the problem of characterizing uncertainty in inverse problems through the approximation of uncertainty regions - sets of parameters that produce outputs close to a given observation within a defined tolerance. These regions reflect the inherent ambiguity in inverse problems and are central to the study of local practical identifiability. To address this, we introduce Jackpot, a deterministic and scalable algorithm designed to approximate the uncertainty region locally around a reference estimate. Jackpot deterministically constructs a low-dimensional manifold that approximates this region in terms of Hausdorff distance, even when the model is highly nonlinear, non-convex, or non-algebraic. Unlike existing approaches based on symbolic computation - which are typically restricted to rational or polynomial models and face scalability issues - as well as sampling-based methods that can be computationally intensive and less reliable in high dimensions, Jackpot relies on automatic differentiation and optimization techniques, making it applicable to complex, high-dimensional settings. This generality allows us to analyze uncertainty in models arising from dynamical systems, neural networks, and beyond. The algorithm is designed to be both efficient and interpretable, offering a tractable way to visualize and quantify regions of parameter space that are practically indistinguishable from a given measure.Finally, given the importance of segmentation in microscopy, we developed Sketchpose, a novel tool for segmenting biological images, especially cells and bacteria. Sketchpose uses a frugal learning approach that enables accurate segmentation from partial annotations - such as partial strokes of cell or background annotations - significantly reducing the need for exhaustive manual labeling. It relies on learning distance maps to cells boundaries to propagate limited annotation information and predict complete object boundaries. This approach ensures stable training using incomplete annotation data.