Propriétés des tours récursives de courbes sur les corps finis

Properties of recursive towers of curves over finite fields

• Auteur / Autrice : Candice Bernard
• Direction : Emmanuel Hallouin, Marc Perret
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 18/12/2025
• Etablissement(s) : Université de Toulouse (2023-2025)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de délivrance conjointe : Université de Toulouse (EPE ; 2025-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean-Marc Couveignes
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Annamaria Iezzi, Charlotte Hardouin, Philippe [Jean-Georges] Lebacque, Stéphane Ballet
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Bruno Anglès
• DOI : 10.70675/e4babd7bz32c1z45fezaba2zf32851a64ea6

Mots clés

Mots clés contrôlés

Courbes algébriques

Théorie des intersections

Corps finis

Mots clés libres

Tours récursives

Corps finis

Courbes algébriques

Correspondance

Théorie de l'intersection

Recursive towers

Finite field

Algebraic curves

Correspondence

Intersection theory

Résumé

Les tours récursives de courbes sur les corps finis offrent un cadre structuré pour l'étude de courbes de grand genre. La nature récursive de leur construction fait que les données asymptotiques d'une tour (X_n​) sont entièrement déterminées par le choix d'une courbe de base X_1 et d'une correspondance sur la surface produit X_1xX_1, à partir desquels l'ensemble de la tour est défini. Une ''bonne'' tour sur un corps fini est alors une suite de courbes dont le genre géométrique croît modérément, tandis que le nombre de points rationnels croît de manière proportionnelle au genre.Cette thèse débute par l'exposé des outils théoriques nécessaires à l'étude de telles tours. On y introduit les notions fondamentales de géométrie algébrique, depuis les courbes algébriques et leurs jacobiennes jusqu'aux surfaces et aux correspondances, en mettant l'accent sur leur rôle dans les constructions ultérieures. Une attention particulière est portée aux liens conceptuels entre le langage des courbes et celui des corps de fonctions.Une deuxième partie est consacrée à l'étude des tours récursives proprement dites. Après avoir rappelé les bornes classiques sur le nombre de points rationnels, nous introduisons diverses constructions de tours et discutons des critères qui permettent d'identifier les ''bonnes'' tours. Nous analysons également les graphes associés à ces tours, leur structure, et les informations qu'ils permettent de déduire sur le comportement asymptotique du nombre de points rationnels et du genre.Enfin, dans une troisième partie, nous introduisons un nouvel invariant associé aux tours de courbes. Nous proposons une nouvelle approche pour analyser les tours récursives en contournant la difficulté liée à la singularité croissante des courbes X_n par l'introduction d'une tour relevée (X_n^*), définie via un cube commutatif sur des surfaces lisses. Cette construction permet d'associer à chaque X_n^* un endomorphisme de la jacobienne d'une courbe, encodé dans sa classe dans le groupe de Néron-Severi. Nous montrons que les valeurs propres de ces endomorphismes sont invariantes le long de la tour. Le problème résiduel concernant cet invariant est que, dans la plupart des bonnes tours connues, la courbe de base est la droite projective P^1. L'invariant associé est alors toujours nul. Nous nous intéressons alors à un exemple de bonne tour, donné par Bassa, Couvreur et Ritzenthaler, pour lequel l'invariant est non nul.

Recursive towers of curves over finite fields provide a structured framework for studying curves of large genus. The recursive nature of their construction implies that the asymptotic data of a tower (X_n) is entirely determined by the choice of a base curve X_1 and a correspondence on the product surface X_1xX_1, from which the whole tower is defined. A ``good'' tower over a finite field is then a sequence of curves whose geometric genus grows moderately, while the number of rational points grows proportionally to the genus.This thesis begins with an exposition of the theoretical tools required for the study of such towers. We introduce fundamental notions from algebraic geometry, ranging from algebraic curves and their Jacobians to surfaces and correspondences, with a particular focus on their role in subsequent constructions. Special attention is given to the conceptual links between the language of curves and that of function fields.The second part is devoted to the study of recursive towers themselves. After recalling the classical bounds on the number of rational points, we introduce various constructions of towers and discuss criteria that allow one to identify ``good'' towers. We also analyze the graphs associated with these towers, their structure, and the asymptotic information they yield concerning the number of rational points and the genus.Finally, in the third part, we introduce a new invariant associated with towers of curves. We propose a new approach to studying recursive towers by circumventing the difficulties arising from the increasing singularities of the curves X_n, through the introduction of a lifted tower (X_n^*) defined via a commutative cube on smooth surfaces. This construction allows us to associate to each X_n^* an endomorphism of the Jacobian of a curve, encoded in its class in the Néron-Severi group. We show that the eigenvalues of these endomorphisms remain invariant along the tower. A remaining issue concerning this invariant is that, in most known good towers, the base curve is the projective curve P^1, in which case the associated invariant is always zero. We therefore focus on an example of a good tower, constructed by Bassa, Couvreur, and Ritzenthaler, for which the invariant is nonzero.