Analyse d'un modèle d'interaction fluide-structure : caractère bien posé, stabilisation et simulations numériques

Analysis of a fluid-structure interaction model : well-posedness, stabilization and numerical simulations

• Auteur / Autrice : Diego Gajardo Miranda
• Direction : Franck Boyer, Michel Fournié
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 27/11/2025
• Etablissement(s) : Université de Toulouse (2023-2025)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de délivrance conjointe : Université de Toulouse (EPE ; 2025-....)
• Jury : Président / Présidente : Matthieu Hillairet
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Mejdi Azaïez, Takéo Takahashi, Jean-Pierre Raymond
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Miguel Angel Fernandez Varela, Muriel Boulakia
• DOI : 10.70675/2a183727z5295z4e15z8830z0dfcfd529f9a

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations de Navier-Stokes

Interaction fluide-structure

Modèles mathématiques

Équations d'Euler-Lagrange

Mots clés libres

Modèle fluide-structure

Équation de Navier-Stokes incompressible

Stabilisation

Approche Euler Lagrangienne Arbitraire

Simulations numériques

Fluid-Structure Model

Incompressible Navier-Stokes equation

Stabilization

Arbitrary Lagrangian Euler Approach

Numerical simulations

Résumé

Cette thèse porte sur l'étude d'un modèle d'interaction fluide-structure qui couple les équations de Navier-Stokes dans un domaine rectangulaire bidimensionnel avec des conditions aux limites mixtes, et une structure régie par une équation d'Euler-Bernoulli amortie. La structure, supposée encastrée à une extrémité et libre à l'autre, est immergée dans le domaine fluide.Dans la première partie de la thèse, nous établissons l'existence locale en temps de solutions fortes. La démonstration de ce résultat repose principalement sur trois éléments : la réécriture du système dans un domaine de référence fixé ; une analyse minutieuse du système de Stokes stationnaire avec des conditions aux limites mixtes dans un domaine présentant des coins rentrants, dans le cadre des espaces de Sobolev hétérogènes ; et enfin, des estimations ad hoc pour les termes non linéaires, lesquelles, combinées à un argument de point fixe, nous permettent de conclure le résultat.La deuxième partie consiste à montrer que le système fluide-structure est localement exponentiellement stabilisable autour d'une solution stationnaire instable, avec un taux de décroissance arbitrairement prescrit, au moyen d'un contrôle par retour d'état appliqué comme terme de forçage dans l'équation de la structure. Bien que la démonstration et les difficultés soient similaires à celles rencontrées lors de l'établissement de l'existence de solutions fortes, des défis supplémentaires apparaissent, propres à la stabilisation du système linéarisé. Par exemple, l'analyse des problèmes aux valeurs propres direct et adjoint avec des conditions non standard.Dans la troisième partie de la thèse, nous abordons les simulations numériques à la fois du problème direct et du problème de stabilisation. Pour résoudre le problème direct, nous utilisons un algorithme monolithique semi-implicite disponible dans la littérature. En ce qui concerne le problème de stabilisation semi-discret (en espace), il est possible de raisonner de manière similaire au cas continu. La principale nouveauté réside dans le fait que, pour réécrire le système dans le domaine de référence fixe, au lieu d'utiliser une transformation géométrique, nous considérons un prolongement harmonique approprié pour définir l'application. Plusieurs expériences numériques sont présentées.

This thesis deals with the study of a fluid-structure interaction model that couples the Navier-Stokes equations in a two-dimensional rectangular domain with mixed boundary conditions, and a structure governed by a damped Euler-Bernoulli equation. The structure, which is assumed to be clamped at one end and free at the other one, is immersed in the fluid domain.In the first part of the thesis, we establish the local-in-time existence of strong solutions. The proof of this result relies primarily on three main ingredients: rewriting the system in a fixed reference domain; a careful analysis of the stationary Stokes system with mixed boundary conditions in a domain with reentrant corners in the framework of heterogeneous Sobolev spaces; and finally, ad-hoc estimates for the nonlinear terms, which, together with a fixed-point argument, enable us to conclude the result.The second part consists in showing that the fluid-structure system is exponentially stabilizable-locally around an unstable stationary solution-with any prescribed decay rate, using a feedback control applied as a forcing term in the structure equation. Although the proof and difficulties are similar to those encountered in establishing the existence of strong solutions, additional challenges arise that are intrinsic to the stabilization of the linearized system. For instance, the analysis of both the direct and adjoint eigenvalue problems involves non-standard conditions.In the third part of the thesis, we address numerical simulations of both the forward problem and the stabilization problem. To solve the forward problem, we use a semi-implicit monolithic algorithm available in the literature. Regarding the semi-discrete (in space) stabilization problem, it is possible to argue in a manner similar to the continuous case. The main novelty lies in the fact that, to rewrite the system in the fixed referenced domain, instead of using a geometric transformation, we consider an appropriate harmonic extension to define the mapping. Several numerical experiments are presented.