K-théorie quantique de la singularité quintique

Quantum K-theory of the quintic singularity

• Auteur / Autrice : Maxime Cazaux
• Direction : Alessandro Chiodo
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 13/06/2025
• Etablissement(s) : Sorbonne université
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Nicolas Perrin-Gilbert
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Elba Garcia-Failde, Penka Georgieva, Chiu-Chu Liu
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Yuan-Pin Lee, Dimitri Zvonkine
• DOI : 10.70675/14601a51zce52z46b9zb145zeac8b5201396

Mots clés

Mots clés contrôlés

Géométrie algébrique

Espaces de modules

Géométrie énumérative

Mots clés libres

Géométrie algébrique

Espaces de modules

Géométrie énumérative

Algebraic geometry

Moduli spaces

Enumerative geometry

Résumé

Dans cette thèse nous considérons la singularité du cône affine au-dessus d'une hyper-surface projective de type Fermat, et notamment le cas célèbre de l'hypersurface quintique dans P4. Nous fournissons le calcul en genre zéro de la K-théorie quantique équivariante sous l'action du groupe symétrique, ou S-équivariante. Ce résultat généralise deux invariants quantiques bien connus. D'un côté, on étend à la K-théorie le calcul en genre 0 de la cohomologie quantique des singularités introduite en 2007 par Fan, Jarvis et Ruan suivant les idées de Witten. De l'autre côté, notre approche peut être vue comme une extension aux singularités de la K-théorie quantique introduite par Givental et Lee en 2004. Ce calcul s'exprime en termes de fonctions génératrices appelées fonctions I, pour lesquelles nous donnons une expression explicite. Ces fonctions I sont solutions d'une équation aux q-différences. Dans le cas du polynôme quintique, l'équation est la même que celle trouvée par Givental pour la K-théorie S-´équivariante de l'hypersurface quintique dans P4. Ainsi, ce résultat peut être vu comme l'analogue en K-théorie de la correspondance Landau-Ginzburg/Calabi-Yau démontrée par Chiodo et Ruan, qui relie la cohomologie quantique d'une hypersurface projective Calabi-Yau à celle de sa singularité affine.

In this thesis, we consider the singularity given by the affine cone above a Fermat-type projective hypersurface, and in particular the well-known case of the quintic threefold within P4.We compute the genus-zero, permutation-equivariant quantum K-theory of such singularities. This results generalize two well-known invariants. On one hand, we extend to K-theory the genus-0computation of the quantum cohomology of singularities, introduced by Fan, Jarvis and Ruan by following ideas of Witten. On the other hand, we extend Givental and Lee's quantum K-theory to singularities. This computation is expressed in terms of the so-called I-functions. These I-functions are solutions to a q-difference equation. In the special case of the quintic polynomial, the equation isthe same as the one found by Givental for the quantum K-theory of the quintic threefold. Thus, our result may be seen as a K-theoretic analogue of the Landau-Ginzburg/Calabi-Yau correspondence proved by Chiodo and Ruan, which relates the quantum cohomology of a Calabi-Yau projective hypersurface, and that of the associated affine singularity.