Systèmes à Temps Discret et à Temps Continu : Relier la Complexité à la Robustesse, la Longueur, la Précision

Discrete-Time and Continuous-Time Systems over the Reals : Relating Complexity with Robustness, Length and Precision

• Auteur / Autrice : Manon Blanc
• Direction : Olivier Bournez, Nathalie Aubrun
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique, données, IA
• Date : Soutenance le 28/05/2025
• Etablissement(s) : Institut polytechnique de Paris
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale de l'Institut polytechnique de Paris
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'informatique de l'École polytechnique (Palaiseau ; 1988-....) - Laboratoire d'informatique de l'École polytechnique [Palaiseau] / LIX
• Jury : Président / Présidente : Pierre Valarcher
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Olivier Bournez, Nathalie Aubrun, Elvira Mayordomo, Enrico Formenti, Luis Cristóbal Rojas González, Juha Kontinen
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Elvira Mayordomo, Enrico Formenti, Luis Cristóbal Rojas González

Mots clés

Mots clés contrôlés

Systèmes dynamiques

Analyse numérique

Nombres réels

Complexité de calcul (informatique)

Fonctions calculables

Équations différentielles

Mots clés libres

Calculabilité

Complexité

Analyse

Computability

Complexity

Analysis

Résumé

Le monde physique qui nous entoure est continu et décrit par des équations différentielles ordinaires (EDO). Mais ce n’est pas le modèle utilisé dans les ordinateurs actuels: les composants sont contraints de vivre dans un régime vrai/faux. Ainsi, les modèles de calcul, comme les machines de Turing, sont discrets: ils fonctionnent sur des mots d’un alphabet fini, avec des pas, c’est-à-dire un temps discret. Nous avons aussi des modèles mathématiques pourles machines analogiques, et les ordinateurs analogiques, comme le “General Purpose Analog Computer” proposé par Claude Shannon, qui peuvent être vus comme le pendant des machines de Turing pour le monde analogique. Nos travaux porte sur la puissance de calcul de tels modèles : comprendre si nous pourrions calculer plus et plus vite avec eux. Pour comparer les approches, nous avons besoin d’un moyen de mesurer le coût des calculs dans des contextes continus. Nous prouvons des caractérisations de classes de complexité pour les calculs utilisant des nombres réels et des modèles analogiques. En particulier, nous étendons les caractérisations de temps aux systèmes à temps discrets avec des EDO discrètes pour couvrir la calculabilité et la complexité des fonctions sur les réels, alors que cela n’avait été fait que pour les problèmes de décision. Nous prouvons qu’il existe une mesure robuste pour les systèmes à temps continus qui correspond à l’espace pour les modèles digitaux: l’espace, soit la mémoire utilisée par un modèle comme la machine de Turing, correspond à la précision pour les systèmes à temps continu. Un autre axe de recherche porte sur la robustesse des systèmes dynamiques. Nous prouvons que l’indécidabilité n’arrive pas pour des systèmes robustes et relions directement le niveau de robustesse à leur complexité. Dans le contexte des théories logiques sur les réels, des procédures de décision existent en se concentrant sur des propriétés insensibles à des perturbations arbitrairement petites. Nous proposons une théorie unifiée expliquant dans un cadre uniforme ces énoncés, établis dans des contextes différents. Nous appliquons ce principe aux systèmes dynamiques généraux, incluant un point de vue topologique, ainsi qu’aux pavages.

The physical world around us is continuous and described by ordinary differential equations (ODEs).But this is not the model used in current computers: the components are forced to live in a true/false regime. Thus, the models of computation, such as Turing machines, are discrete: they operate on words of a finite alphabet, with steps, so in discrete time. However, we also have mathematical models for analogue machines, and analogue computers, such as the “General Purpose Analog Computer” proposed by Claude Shannon, which can be seen as the counterpart of Turing machines for the analogue world. Our work focuses on the computing power of such models: understanding whether we could compute more and faster with them. To compare approaches, we need a way to measure the cost of computations in continuous contexts. We prove complexity class characterisations for computations over real numbers and analogue models. In particular, we extend the time characterisations to discrete-time systems with discrete ODEs to cover computability and complexity of functions on the reals, whereas this had only been done for decision problems. We prove there exists a robust measure for continuous-time systems corresponding to space for digital models: space, that is, the memory used by a model like the Turing machine, corresponds to precision for continuous-time systems.Another line of research concerns the robustness of dynamical systems. We show that undecidability does not occur for robust systems and directly relate the level of robustness to their complexity. In the context of logical theories of real numbers, decision procedures exist by focusing on properties insensitive to arbitrarily small perturbations. We propose a unified theory explaining these statements, from different contexts, in a uniform framework. We apply this principle to general dynamical systems, including a topological point of view, as well as to tilings.