Analyse mathématique de modèles stochastiques de dynamique des fluides

Mathematical analysis of stochastic dynamics for ocean models

• Auteur / Autrice : Bérenger Hug
• Direction : Étienne Mémin, Arnaud Debussche
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 19/12/2024
• Etablissement(s) : Université de Rennes (2023-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : MATISSE
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche mathématique (Rennes ; 1996-....)
• Jury : Président / Présidente : Erwan Faou
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Étienne Mémin, Arnaud Debussche, Éric Simonnet
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mireille Bossy, Benedetta Ferrario

Mots clés

Mots clés contrôlés

Analyse mathématique

Dynamique des fluides

Martingales (mathématiques)

Équations de Navier-Stokes

Espaces de Hilbert

Mots clés libres

RKHS

Equation de Navier-Stokes

Solutions martingales

Méthode de la fonction perturbée

RKHS Navier-Stokes equation

Martingale solution

Perturbed function method

Résumé

Dans une première partie, à partir d’une équation d’évolution, on construit une famille de noyaux indexée par le temps qui permet de définir une famille d’espaces de fonctions (RKHS). On construit une famille d’opérateurs de Koopman qui permettent de passer d’un noyau initial (temps 0) au noyau au temps t. Pour décrire cet opérateur simplement, on cherche à diagonaliser un opérateur qui est relié. Dans une seconde partie, on montre que les équations stochastiques de Navier- Stokes LU qui dépendent d’un paramètre sur un ouvert borné en dimension 2 et 3 admettent des solutions faibles (solutions martingales), avec unicité en dimension 2. Puis on montre qu’une famille de solutions indexée par ce paramètre converge, lorsque ce paramètre tend vers 0, vers une solution de l’équation de Navier- Stokes déterministe. Dans une troisième partie, on fixe le paramètre précédent égal à 1, on souhaite voir une solution des équations de Navier-Stokes LU comme limite de solutions d’une nouvelle équation appelée Navier-Stokes avec advection aléatoire dépendant d’un paramètre.Pour cela on utilise la méthode de la fonction perturbée.

In a first part, from an evolution equation, we construct a family of kernels indexed by time which makes it possible to define a family of function spaces (RKHS). We construct a family of Koopman operators which allow us to pass from an initial kernel (time 0) to the kernel at time t. To describe this operator simply, we seek to diagonalize an operator which is connected In a second part, we show that the stochastic equations of Navier-Stokes LU on an open bounded in dimension 2 and 3 which depend on a parameter admit weak solutions (martingale solutions) with uniqueness in dimension 2. Then we show that a family of solutions indexed by this parameter converges to a solution of the deterministic Navier-Stokes equation, when this parameter tends to 0. In a third part, we set the previous parameter equal to 1, we wish to see a solution of the Navier-Stokes LU equations as a limit of solutions of a new equation called Navier-Stokes with random advection depending on a parameter. For this we use the perturbed function method. In a first part, from an evolution equation, we construct a family of kernels indexed by time which makes it possible to define a family of function spaces (RKHS). We construct a family of Koopman operators which allow us to pass from an initial kernel (time 0) to the kernel at time t. To describe this operator simply, we seek to diagonalize an operator which is connected In a second part, we show that the stochastic equations of Navier-Stokes LU on an open bounded in dimension 2 and 3 which depend on a parameter admit weak solutions (martingale solutions) with uniqueness in dimension 2. Then we show that a family of solutions indexed by this parameter converges to a solution of the deterministic Navier-Stokes equation, when this parameter tends to 0. In a third part, we set the previous parameter equal to 1, we wish to see a solution of the Navier-Stokes LU equations as a limit of solutions of a new equation called Navier-Stokes with random advection depending on a parameter. For this we use the perturbed function method.