Calcul des opérateurs pseudo-différentiels : une approche géométrique

The calculus of pseudo-differential operators : a geometric approach

• Auteur / Autrice : Mahsa Naraghi
• Direction : Stéphane Vassout, Georges Skandalis
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 20/12/2024
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Jussieu-Paris Rive Gauche (1997-....)
• Jury : Président / Présidente : Claire Debord
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Claire Anantharaman
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Robert Yuncken, Iakovos Androulidakis
• DOI : 10.70675/60d060b4z0601z47fez9cc8z0ff5f0bc8c63

Mots clés

Mots clés contrôlés

Opérateurs pseudo-différentiels

Espaces de Schwartz

Groupoïdes de Lie

Mots clés libres

Groupoïde de Lie

Distribution conormale

Opérateur pseudo-différentiel

Déformation au cône normal

Construction d'éclatement sphérique

Fonction de Schwartz sur un espace de déformation

Lie groupoid

Conormal distribution

Pseudo-differential operator

Deformation to the normal cone

Spherical blow-up construction

Schwartz function on a deformation space

Résumé

Cette thèse explore l'interaction entre les distributions conormales et les espaces de déformation, ainsi que l'algèbre des opérateurs pseudo-différentiels. La première partie introduit les distributions conormales sur une variété le long d'une sous-variété, ainsi qu'une étude détaillée de la structure lisse de la déformation le long d'une sous-variété immergée, des produits fibrés, des actions de zoom et de la construction de l'éclatement. Le concept de fonctions de Schwartz sur les espaces de déformation et leur sous-espace fondamental S0DNC est étudié, y compris sous les aspects de la fonctorialité et des produits fibrés. En s'appuyant sur ces bases, la thèse établit trois caractérisations géométriques des distributions conormales en utilisant les espaces de déformation. Dans la deuxième partie, l'accent est mis sur les groupoïdes de Lie. Elle commence par un examen de leur structure et des C*-algèbres associées, suivi d'une étude détaillée de l'algèbre des opérateurs pseudo-différentiels. Diverses approches pour caractériser le produit de ces opérateurs sont explorées. En outre, une démonstration de l'isomorphisme entre les complétions des opérateurs pseudo-différentiels d'ordre 0 dans les algèbres de multiplicateurs de C*(G) et C*r(G), modulo leurs C*-algèbres respectives, est présentée.

This thesis explores the interplay between conormal distributions and deformation spaces, and the algebra of pseudo-differential operators. The first part introduces conormal distributions on a manifold along a submanifold and a detailed study of the smooth structure of the deformation along an immersed submaifold, fiber products, zoom actions, and blow-up construction. The concept of Schwartz functions on deformation spaces and their fundamental subspace S0DNC is studied, including aspects of functoriality and fiber products. Building upon these foundations, the thesis establishes three geometric characterizations of conormal distributions using deformation spaces. In the second part, the focus shifts to Lie groupoids. It begins with a review of their structure and associated C*-algebras, followed by a detailed study of the algebra of pseudo-differential operators. Various approaches to characterizing the product of these operators are explored. In addition, a proof of the isomorphism between completions of 0-order pseudo-differential operators in the multiplier algebras of C*(G) and C*r(G), modulo their respective C*-algebras is presented.