Invariants secondaires L2 et indice relatif

Secondary L2 invariants and relative index

• Auteur / Autrice : Victor Moulard
• Direction : Moulay-Tahar Benameur
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et modélisation
• Date : Soutenance le 25/10/2024
• Etablissement(s) : Université de Montpellier (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Information, Structures, Systèmes (Montpellier ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut Montpelliérain Alexander Grothendieck (Montpellier ; 2003-....)
• Jury : Président / Présidente : Jean Renault
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Maria Paula Gómez Aparicio, Thomas Haettel, Hervé Oyono-Oyono
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Paolo Piazza, Paulo Roberto Carrillo-Rouse

Mots clés

Mots clés contrôlés

Topologie algébrique

Géométrie différentielle non commutative

Rigidité (géométrie)

Mots clés libres

Rigidité

Invariant rho

Théorie de l'indice

Géométrie non commutative

Indice relatif

Rho invariant

Noncommutative geometry

Rigidity

Relative index

Index theory

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à la généralisation de la suite exacte maximale de Higson-Roe à six termes au cas d'un groupoïde étale G, en étudiant particulièrement le cas du groupoïde de transformation XrtimesGamma associé à une action topologique d'un groupe discret dénombrable Gamma sur un espace compact X. Rappelons que la conjecture de Baum-Connes stipule qu'un morphisme d'assemblage universel associé à un groupe Gamma est un isomorphisme, et l'idée de Higson et Roe était de construire une suite exacte maximale universelle à six termes contenant la flèche d'assemblage maximale de Baum-Connes. Le morphisme de Baum-Connes est également bien défini pour G et la flèche réduite a également été conjecturée comme étant un isomorphisme.Dans la première partie de cette thèse, nous construisons une algèbre de Roe duale maximale appropriée et un idéal de Roe maximal à l'aide d'une généralisation du module de Connes-Skandalis. Nous prouvons que les morphismes de Paschke-Higson sont compatibles avec les flèches de Baum-Connes maximales, et nous obtenons la suite exacte à six termes maximale voulue.Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous restreignons au groupoïde de transformation XrtimesGamma. Dans ce cas, nous démontrons des résultats de fonctorialité sur les groupes de K-théorie de la suite exacte maximale, et ainsi nous obtenons la suite exacte maximale universelle à six termes pour le groupoïde XrtimesGamma. Enfin, dans la troisième partie nous construisons des algèbres de von Neumann maM_i et des algèbres duales ell^2 correspondantes associées à la suite exacte maximale. Nous définissons également une trace sur maM_i associée à une mesure borélienne Gamma-invariante sur X. Nous prouvons à nouveau la fonctorialité de cette construction, et ainsi nous définissons des groupes de structure analytique ell^2. Nous obtenons ainsi une suite exacte analytique, plus calculable que la suite exacte universelle.

In this thesis, we focus on the generalization of the Higson-Roe maximal six-term exact sequence to the case of a Hausdorff étale groupoid G, with particular attention to the case of a transformation groupoid Xrtimes Gamma associated with a topological action of a countable discrete group Gamma on a compact space X. Recall that the Baum-Connes conjecture states that a universal assembly map associated with a group Gamma is an isomorphism. Higson and Roe's idea was to construct a universal six-term maximal exact sequence involving the maximal Baum-Connes assembly map. The Baum-Connes map is also well-defined for G, and the reduced map has also been conjectured to be an isomorphism. In the first part of this thesis, we construct an appropriate maximal dual Roe algebra and a maximal Roe ideal using a generalization of the Connes-Skandalis module. We prove that the Paschke-Higson maps are compatible with the maximal Baum-Connes maps, and we obtain the desired maximal six-term exact sequence. In the second part of this thesis, we restrict our attention to the transformation groupoid Xrtimes Gamma. In this case, we prove functoriality results on the K-theory groups of the maximal exact sequence, and thus we obtain the universal maximal six-term exact sequence for the groupoid X rtimes Gamma. Finally, in the third part, we construct von Neumann algebras maM_i and corresponding ell^2 dual algebras associated with the maximal exact sequence. We also define a trace on maM_i associated with a Gamma-invariant Borel measure on X. Again, we prove the functoriality of this construction, and thus we define ell^2 analytic structure groups. This leads us to an analytic exact sequence, more computable than the universal exact sequence.