Espaces modèles, ensembles spectraux et inégalités de type Schwarz-Pick

Model spaces, spectral sets and Schwarz-Pick type inequalities

• Auteur / Autrice : Axel Renard
• Direction : Catalin Badea
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 22/11/2024
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : École graduée Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille ; 2021-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
• Partenaire(s) de recherche : Financeur : Université de Lille (2018-2021)
• Jury : Président / Présidente : Sophie Grivaux
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Emmanuel Fricain, Jani Virtanen
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Pamela Gorkin, Stéphane Charpentier

Mots clés

Mots clés contrôlés

Espaces de Hilbert

Géométrie hyperbolique

Théorie spectrale (mathématiques)

Fonctions holomorphes

Analyse mathématique

Opérateurs, Théorie des

Analyse fonctionnelle

Mots clés libres

Analyse fonctionnelle

Théorie des opérateurs

Analyse mathématique

Analyse complexe

Théorie spectrale

Géométrie hyperbolique

Lemme de Schwarz-Pick

Functional analysis

Operator theory

Mathematical analysis

Complex analysis

Spectral theory

Hyperbolic geometry

Résumé

L'inégalité de Schwarz-Pick pour une fonction holomorphe d'une variable est un sujet classique en analyse complexe et, plus spécifiquement, en géométrie hyperbolique. Des inégalités de type Schwarz-Pick pour trois points et, ensuite, pour n points du disque unité ouvert ont été établies respectivement par Beardon et Minda, et par Baribeau, Rivard, et Wegert. L'objectif de cette thèse de doctorat est d'étudier les inégalités de type Schwarz-Pick d'un point de vue théorique des opérateurs. En utilisant l'inégalité de von Neumann pour les opérateurs sur les espaces de Hilbert et ses généralisations, les inégalités de Schwarz-Pick et de Beardon-Minda sont obtenues de manière unifiée. Le lien avec les opérateurs modèles est mis en évidence, et de nouvelles inégalités de type Schwarz-Pick en une ou plusieurs variables complexes sont établies. Nous nous concentrons également sur les versions opératoires des inégalités de type Schwarz-Pick, en suivant les travaux de Ky Fan et D. Jocic. Pour ce faire, nous discutons d'autres sujets d'intérêt, tels que le calcul fonctionnel holomorphe explicite, les différences divisées non commutatives et les critères de contractivité pour les matrices. Le manuscrit se termine par un aperçu rapide d'autres ensembles spectraux.

The Schwarz-Pick inequality for holomorphic functions of one variable is a classical topic in complex analysis and, more specifically, in hyperbolic geometry. Schwarz-Pick type inequalities for three points and, subsequently, for n points in the open unit disc have been established by Beardon and Minda, and by Baribeau, Rivard, and Wegert, respectively. The aim of this PhD thesis is to study Schwarz-Pick type inequalities from an operator-theoretic perspective. By employing the von Neumann inequality for operators on Hilbert spaces and its generalizations, the Schwarz-Pick inequality and the Beardon-Minda inequality are derived in a unified manner. The connection with model operators is explored, and new Schwarz-Pick type inequalities for functions in one or several complex variables are established. The thesis also focuses on operator versions of Schwarz-Pick type inequalities, building on the work of Ky Fan and D. Jocic. To this end, we discuss related topics such as explicit holomorphic functional calculus, non-commutative divided differences, and contractivity criteria for matrices. The manuscript concludes with a brief exploration of some other spectral sets.