Espaces des paramètres des polynômes cubiques avec un point fixe neutre

Parameter spaces for cubic polynomials with a neutral fixed point

• Auteur / Autrice : Runze Zhang
• Direction : Pascale Roesch
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 08/07/2024
• Etablissement(s) : Université de Toulouse (2023-2025)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de délivrance conjointe : Université Toulouse 3 Paul Sabatier (1969-2024)
• Jury : Président / Présidente : Arnaud Chéritat
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Matthieu Astorg
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Mitsuhiro Shishikura, Dzmitry Dudko
• DOI : 10.70675/df5cae1dzd4c8z4f07zb84czf35549690678

Mots clés

Mots clés contrôlés

Polynômes

Théorème du point fixe

Mots clés libres

Polynômes cubiques

Dynamiques

Point fixe neutre

Cubic polynomials

Dynamics

Neutral fixed point

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions l'espace des paramètres des polynômes cubiques avec un point fixe neutre.La première partie se concentre sur la description topologique du lieu de connexité pour les polynômes cubiques avec un point fixe neutre. Dans l'esprit de Milnor, nous sommes motivés à étudier les tranches unidimensionnelles des polynômes cubiques en fixant le multiplicateur du point fixe. Dans chaque tranche, nous définissons un sous-ensemble compact appelé la partie centrale du lieu de connexité, qui est composée de polynômes cubiques non renormalisables. Sous l'hypothèse que le point fixe est parabolique ou Siegel de type borné, nous définissons une combinatoire dynamique pour les polynômes dans la partie centrale. En appliquant les techniques de puzzle développées par Kahn-Lyubich-Yoccoz, nous démontrons un théorème de rigidité pour ces polynômes. Il s'ensuit que la partie centrale est un double revêtement dynamique naturel du revêtement double de l'ensemble de Julia pour le polynôme quadratique correspondant avec un point fixe du même multiplicateur.Dans la deuxième partie, nous étudions l'enrichissement du lieu de connexité pour les tranches avec un point fixe parabolique. En étudiant attentivement la dynamique près de la dégénérescence parabolique, nous sommes capables de décrire topologiquement l'enrichissement dans l'espace des paramètres et de le relier au phénomène de l'implosion parabolique dans le plane dynamique pour les polynômes quadratiques.

In this thesis, we study the parameter space of cubic polynomials with a neutral fixed point.The first part concerns with the topological description of the connected locus for cubic polynomials with a neutral fixed point. In the spirit of Milnor, we are motivated to study the one-dimensional slices of cubic polynomials by fixing the multiplier of the fixed point. In each slice, we define a compact subset called the central part of the connected locus which consists of non renormalisable cubic polynomials. Under the assumption that the fixed point is parabolic or Siegel with bounded type, we define dynamical combinatorics for polynomials in the central part. Applying puzzle techniques developed by Kahn-Lyubich-Yoccoz, we prove a rigidity theorem for these polynomials. It follows that the central part is a natural dynamical double covering of the double covering of the Julia set for the corresponding quadratic polynomial with a fixed point of the same multiplier.In the second part, we study the enrichment of the connected locus for slices with a parabolic fixed point. By studying carefully the near parabolic-degenerate dynamics, we are able to describe topologically the enrichment in the parameter space and relate it to the parabolic implosion phenomenon in the dynamical plane for quadratic polynomials.