Surfaces K3 dans les espaces projectifs à poids, contractions de Mori de longueur sous-maximale

K3 surfaces in weighted projective spaces, Mori contractions of submaximal length

• Auteur / Autrice : Bruno Dewer
• Direction : Thomas Dedieu, Andreas Höring
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 13/12/2024
• Etablissement(s) : Université de Toulouse (2023-2025)
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....)
• Partenaire(s) de recherche : Etablissement de délivrance conjointe : Université Toulouse 3 Paul Sabatier (1969-2024)
• Jury : Président / Présidente : Michele Bolognesi
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Laurent Manivel, Enrica Floris
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Dimitri Markouchevitch
• DOI : 10.70675/ae651607z899cz4593zad30z9dd4ee76eb7f

Mots clés

Mots clés contrôlés

Variétés (mathématiques)

Espaces projectifs

Surfaces K3

Mots clés libres

Extensibilité

Surfaces K3

Courbes canoniques

Espaces projectifs à poids

Contractions de Mori

Programme de Mori

Extendability

K3 surfaces

Canonical curves

Weighted projective spaces

Mori contractions

Mori program

Résumé

Cette thèse s'articule en deux parties. La première est consacrée à la notion d'extensibilité des variétés projectives, dont la définition est la suivante : une variété projective non-dégénérée, c'est à dire non contenue dans un hyperplan de son espace projectif ambiant, est extensible si elle peut être obtenue par sections hyperplanes d'une variété projective de dimension plus grande qui n'est pas un cône. C'est en général une question difficile lorsque la variété de départ n'est pas intersection complète. L'extensibilité est un sujet d'intérêt pour beaucoup de géomètres algébristes depuis le début du vingtième siècle. Par exemple, Gaetano Scorza et Alessandro Terracini ont montré respectivement en 1910 et en 1913 que ni les variétés de Veronese de dimension 2 ou plus, ni les variétés de Segre de dimension 3 ou plus ne sont extensibles. Le cas particulier des courbes canoniques fut étudié en détail plus récemment. C'est un fait standard que toute surface projective à singularités canoniques qui est extension de courbes canoniques est une surface K3. Réciproquement, toute section hyperplane lisse de surface K3 est une courbe canonique. Le lien entre l'application de Gauß-Wahl d'une courbe caninique et son extensibilité est au centre de plusieurs travaux, dont ceux de Ciro Ciliberto, Joe Harris et Rick Miranda dans les années 80, mais aussi de plus récents, comme ceux de Ciro Ciliberto, Thomas Dedieu et Edoardo Sernesi. Dans un article paru en 2023, Thomas Dedieu et Edoardo Sernesi se sont intéressés à la liste des 14 espaces projectifs à poids de dimension 3 qui admettent des modèles projectifs dans lesquels ils sont extensions de courbes canoniques. Pour chacun d'entre eux, la dimension maximale de ses extensions était alors connue, mais il restait à donner une construction explicite d'extensions maximales pour 5 cas. C'est à cela qu'est consacré le premier chapitre de cette thèse, ainsi qu'à une caractérisation géométrique des courbes primitives contenues dans les sections hyperplanes de ces espaces projectifs à poids. Nous consacrons également une section à la classification des espaces projectifs à poids de dimension 4 ou plus qui sont susceptibles d'admettre des modèles projectifs extensions de courbes canoniques. Le deuxième chapitre de cette thèse est voué à l'étude des contractions de Mori de longueur sous-maximale. Étant donné une variété lisse contenant des courbes projectives sur lesquelles le diviseur canonique est de degré négatif, la théorie développée par Yujiro Kawamata, János Kollár, Shigefumi Mori et Vyacheslav Shokurov dans les années 80 donne l'existence de morphismes, appelés contractions de Mori élémentaires, qui contractent certaines de ces courbes. Ces morphismes sont les étapes élémentaires du programme de Mori, lequel vise à trouver un représentant birationnel de la variété fixée au départ qui contienne le moins de courbes projectives possibles sur lesquelles le diviseur canonique ait un degré négatif. La longueur d'une contraction de Mori élémentaire est une grandeur numérique qui obéit à une inégalité prouvée par Paltin Ionescu et Jaroslaw Wiśniewski, respectivement en 1989 et 1991. Cette inégalité fait intervenir la dimension de la variété de départ, celle du lieu exceptionnel et celle de la fibre générale contenue dans le lieu exceptionnel. Andreas Höring et Carla Novelli ont prouvé dans un article de 2013 que le lieu exceptionnel d'une contraction de Mori élémentaire de longueur maximale, c'est à dire pour laquelle la borne de la longueur est atteinte, admet une structure de fibré projectif à modification birationnelle près. Les résultats centraux de notre chapitre 2 exhibent une structure de fibré en quadriques, ou bien celle d'un fibré projectif, comme modèle birationnel du lieu exceptionnel d'une contraction de Mori élémentaire de longueur sous-maximale.

This thesis is built in two parts. The first one is dedicated to the extendability of projective varieties, which is defined as follows: a projective variety which is nondegenerate, meaning that it is contained in no hyperplane of its ambient space, is extendable if it can be obtained via hyperplane sections of a projective variety of larger dimension which is not a cone. It is in general a difficult question when the starting variety is not a complete intersection. Extendability has been a main research interest for many algebraic geometers since the beginning of the twentieth century. For instance, Gaetano Scorza and Alessandro Terracini respectively proved in 1910 and 1913 that neither Veronese varieties of dimension at least 2, nor Segre varieties of dimension at least 3, are extendable. The particular case of canonical curves was studied in further detail recently. It is a standart fact that every projective surface with canonical singularities which is an extension of a canonical curve is a K3 surface. Conversely, every smooth hyperplane section of a projective K3 surface is a canonical curve. The link between the extendability of a canonical curve and the Gauß-Wahl map of said curve is at the center of several works, among which those of Ciro Ciliberto, Joe Harris and Rick Miranda from the 80s, but also more recent ones, such as the works of Ciro Ciliberto, Thomas Dedieu and Edoardo Sernesi. In a paper published in 2023, Thomas Dedieu and Edoardo Sernesi investigated the list of the 14 weighted projective spaces of dimension 3 which each admit a projective model that is an extension of canonical curves. For each case, the maximal dimension of an extension was known via computations, but it remained to give an explicit construction of maximal extensions for 5 of these spaces. This is the focus of this thesis' first chapter, together with a characterization of the primitive curves contained in the hyperplane sections of these threefolds. We also make a digression about the classification of weighted projective spaces of any dimension which admit projective models that are extensions of canonical curves. The second chapter of this thesis is dedicated to the study of Mori contractions of submaximal length. Given a smooth variety containing projective curves on which the canonical divisor has negative degree, the theory developed by Yujiro Kawamata, János Kollár, Shigefumi Mori and Vyacheslav Shokurov in the 80s ensures the existence of morphisms, called elementary Mori contractions, which contract some of these negative curves. These morphisms are the elementary steps of the Mori Program, which aims at finding a birational representative of the starting variety with the least possible curves on which the canonical divisor has negative degree. The length of an elementary Mori contraction is a numerical quantity which obeys an inequality proved by Paltin Ionescu and Jaroslaw Wiśniewski, respectively in 1989 and 1991. This inequality is an upper bound involving the dimension of the total variety, that of the exceptional locus and that of a general fibre in the exceptional locus. Andreas Höring and Carla Novelli have proven in a paper from 2013 that the exceptional locus of an elementary Mori contraction of maximal length, in other words for which the upper bound is met, admits the structure of a projective bundle up to a birational modification. The central results of this thesis' chapter 2 exhibit the structure of a quadric bundle, or a projective bundle, as a birational model for an elementary Mori contraction of submaximal length which is either of fibre type or divisorial.