Inférence de loi rhéologique type Herschel-Bulkley pour un modèle d'écoulements faibles profondeurs.

Inference of Effective Rheological Laws for Shallow Lava Flow Models from Free-Surface Measurements

• Auteur / Autrice : David Muchiri
• Direction : Jérôme Monnier, Mathieu Sellier
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et Applications
• Date : Soutenance le 25/07/2024
• Etablissement(s) : Université de Toulouse (2023-2025) en cotutelle avec Université de Canterbury
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, informatique et télécommunications (Toulouse)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de mathématiques de Toulouse (2007-....) - Institut de Mathématiques de Toulouse
• Partenaire(s) de recherche : établissement délivrant conjointement le doctorat : Institut national des sciences appliquées (Toulouse ; 1961-....)
• Jury : Président / Présidente : Stefanie Gutschmidt
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Marie-Hélène Vignal
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Roney Thompson, Brendan Harding
• DOI : 10.70675/f7b7982bz2962z4f69z86a1zd9221c84f072

Mots clés

Mots clés contrôlés

Rhéologie

Mots clés libres

Ecoulements surfaces libres

Rhéologie Herschel-Bulkley

Modèles shallow-Water

Identification de parametres

Laves volcaniques

Free surface flows

Herschel-Bulkley rheology

Shallow water models

Parameters identification

Volcano lavas

Résumé

Pour comprendre, décrire, simuler et prédire la dynamique des coulées de lave géophysiques pour l'atténuation des risques, ce travail de recherche présente une modélisation mathématique et des simulations d'écoulements tridimensionnels peu profonds à surface libre de fluides viscoplastiques Herschel–Bulkley sur une topographie inclinée non plate avec des conditions basales variables. À partir d'une analyse systématique des perturbations, des modèles d'ordre inférieur des équations de Navier–Stokes sont dérivés en employant l'approche multi-régime, qui permet de modéliser différents régimes d'écoulement provenant de la variation de la pente moyenne et/ou des conditions basales. En particulier, le modèle de lubrification, les équations d'eau peu profonde et l'équation de chaleur moyenne en profondeur sont dérivés pour des écoulements viscoplastiques multi-régimes applicables à un environnement naturel constitué d'une topographie irrégulière avec des perturbations de la friction basale.Deux régimes d'écoulement (le Régime A, celui de base/classique, et le Régime B, celui enrichi d'un terme de pression correctif) correspondant à différents équilibres entre forces de cisaillement et de pression sont définis et étudiés. Les modèles d'écoulement correspondant à ces régimes sont calculés comme des perturbations des solutions d'ordre zéro. Les modèles de référence classiques de la littérature sont retrouvés en considérant leurs cas respectifs sur une surface plane inclinée. Les solutions d'écoulement des deux régimes sont comparées ; la différence apparaît notamment au voisinage de changements brusques de pente. Néanmoins, les deux modèles de régime sont comparés aux expériences et s’avèrent en bon accord.De plus, pour étudier les effets des paramètres rhéologiques : indice de loi de puissance (n), indice de consistance (K) et limite d'élasticité (tau_{c}), sur la hauteur et la vitesse d'écoulement des fluides Herschel–Bulkley sur différentes topographies, trois des exemples pratiques de cas d'écoulement avec rupture de barrage sont étudiés : une rupture de barrage sur une surface plane inclinée, une rupture de barrage sur une topographie non plate et une rupture de barrage sur un lit humide. Les effets des pentes du lit et des rapports de profondeur entre les niveaux de fluide en amont et en aval sur la dynamique des écoulements sont également analysés. Les résultats numériques sont comparés aux données expérimentales de la littérature et s'avèrent en bon accord. Les résultats montrent que l'augmentation de l'un des trois paramètres rhéologiques diminue la position du front fluide, la hauteur du pic et la vitesse moyenne, tant dans des conditions de lit sec qu’humide.Enfin, en formulant un problème inverse, nous pouvons déduire les paramètres rhéologiques (K,,tau_{c},,n) à partir de mesures en surface libre basées sur des données expérimentales d'écoulements autour d'une occlusion. Le problème d'identification rhéologique est formulé pour minimiser une fonction objective qui mesure l'écart entre les hydrogrammes d'élévation issus de la sortie du modèle et des données expérimentales. Le solveur inverse est testé sur des données synthétiques et de laboratoire. L'ensemble des paramètres rhéologiques déduits est comparé aux valeurs mesurées sur un rhéomètre pour le fluide utilisé dans les expériences. Les résultats ont montré que les mesures hydrographiques à l'interface solide-fluide mouillée contiennent des informations sur l'écoulement du fluide, qui peuvent être utilisées pour récupérer la rhéologie inconnue afin d'atténuer les risques et/ou faciliter la prédiction de la dynamique de mouillage.

To understand, describe, simulate, and predict the dynamics of geophysical lava flows for hazard mitigation, this research work presents mathematical modelling and simulations of three-dimensional shallow free-surface flows of Herschel–Bulkley viscoplastic fluids down an inclined non-flat topography with varying basal conditions. Starting from a systematic perturbation analysis, lower-order models of the Navier–Stokes equations are derived by employing the multi-regime approach, which allows to model different flow regimes originating from the variation of the mean-slope and/or the basal conditions. In particular, the lubrication model, the shallow water equations, and the depth-averaged heat equation are derived for multi-regime viscoplastic flows applicable to a natural setting consisting of an irregular topography with perturbations in basal slipperiness.Two flow regimes (Regime A, the basic/classical one, and Regime B, the enriched one with a corrective pressure term) corresponding to different balances between shear and pressure forces are defined and investigated. Flow models corresponding to these regimes are calculated as perturbations of the zeroth-order solutions. The classical reference models in the literature are recovered by considering their respective cases on a flat-inclined surface. The flow solutions of the two regimes are compared; the difference appears, in particular, in the vicinity of sharp changes of slopes. Nonetheless, both regime models are compared with experiments and are found to be in good agreement.Furthermore, to investigate the effects of rheological parameters: power-law index (n), consistency index (K), and yield stress (tau_{c}), on flow height and velocity of Herschel–Bulkley fluids over different topographies, three practical examples of dam-break flow cases are studied: a dam-break on an inclined flat surface, a dam-break over a non-flat topography, and a dam-break over a wet bed. The effects of bed slopes and depth ratios between upstream and downstream fluid levels, on flow dynamics are also analyzed. The numerical results are compared with experimental data from the literature, and are found to be in good agreement. Results show that increasing any of the three rheological parameters decreases the fluid front position, peak height, and mean velocity, for both dry and wet bed conditions.Lastly, by formulating an inverse problem, we can infer the rheological parameters (K,,tau_{c},,n) from free-surface measurements based on experimental data of flows around an occlusion. The rheological identification problem is formulated to minimize an objective function that measures the discrepancy between the elevation hydrographs from the model output and experimental data. The inverse solver is tested on both synthetic and laboratory data. The set of rheological parameters inferred is compared with the values measured on a rheometer for the fluid used in the experiments. The results have shown that hydrograph measurements at the wetted solid-fluid interface contain information of the fluid flow, which can be used to retrieve the unknown rheology for hazard mitigation and/or aid prediction of the wetting dynamics.