Estimations de Carleman pour des poutres de timoshenko et application à la contrôlabilité exacte et aux problèmes inverses.

Carleman estimates for Timoshenko beams and application to exact controllability and inverse problems

• Auteur / Autrice : Thomas Nancy
• Direction : Louis Roder Tcheugoué Tébou, Carole Julie Louis-Rose
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques
• Date : Soutenance le 16/12/2024
• Etablissement(s) : Antilles
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Dynamique des environnements dans l'espace Caraïbes-Amériques (Pointe-à-Pitre ; 2022-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire de Mathématiques Informatique et Applications
• Partenaire(s) de recherche : : Martinique. Collectivité territoriale (2015-....)
• Jury : Président / Présidente : Luz de Teresa
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Louis Roder Tcheugoué Tébou, Carole Julie Louis-Rose, Luz de Teresa, Kaïs Ammari, Valentin Keyantuo, Séverine Andouze-Bernard
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Luz de Teresa, Kaïs Ammari

Mots clés

Mots clés contrôlés

Équations aux dérivées partielles -- Solutions numériques

Mots clés libres

Inégalités de Carleman

Système de Timoshenko

Contrôlabilité exacte

Problèmes inverses

Observabilité

Carleman estimates

Timoshenko system

Exact controllability

Inverse problems

Observability

Résumé

Cette thèse a pour objet d’établir des inégalités de Carleman associées à un système de Timoshenko et d’appliquer ces résultats à la résolution de problèmes de contrôlabilité exacte et de problèmes inverses.Ce système, introduit par Stephen Timoshenko, se compose de deux équations hyperboliques et permet de décrire les vibrations transversales d’une poutre. Plus généralement, ce modèle est utilisé, avec celui d’Euler Bernoulli, en théorie des poutres, dans le domaine de la résistance des matériaux. Il a la particularité, contrairement à l’autre modèle, de prendre en compte les effets de cisaillement dans la déformation d’une poutre. Par exemple, il permet de modéliser un plongeoir dans une piscine ou encore une structure en béton armé. L’intérêt de résoudre des problèmes de contrôlabilité à zéro associés à ce système est de pouvoir amener une structure à l’état d’équilibre afin qu’elle ne se casse pas ou n’entre pas en résonance. Un des intérêts de la résolution de problèmes inverses associés à un système de Timoshenko est qu’ils peuvent nous aider à localiser des fissures sur une structure vibrante.Dans un premier chapitre, nous établissons des inégalités de Carleman associées à un système de Timoshenko dans les cas frontière et interne. Ces estimations sont des inégalités à poids exponentiels avec un ou deux paramètres très grands, nommées en hommage à Torsten Carleman qui les a introduites. En remarquant qu’un système de Timoshenko peut être transformé en un système de deux équations des ondes, nous commençons par démontrer des inégalités de Carleman pour une équation des ondes dans les cas interne et frontière. Nous imposons d’abord à la solution de l’équation des conditions de nullité des déplacements aux temps initial et final. Par la suite, en utilisant une fonction tronquante nous améliorons ces inégalités en nous débarrassant des contraintes sur les déplacements. En appliquant ensuite ces résultats au système considéré, nous obtenons les inégalités de Carleman désirées.Dans un second chapitre, en utilisant les résultats précédents, nous résolvons des problèmes de contrôlabilité à zéro associés à un système de Timoshenko. Un problème de contrôlabilité à zéro se pose pour un système dynamique dans lequel nous retrouvons une fonction appelée contrôle avec laquelle nous pouvons, pour toute donnée initiale, conduire notre système à son état d’équilibre au bout d’un certain temps. Nous retrouvons ce type de problèmes dans de nombreux domaines tels que la chimie, quand on souhaite obtenir une quantité précise de produit à la fin d’une réaction ou encore l’aérospatiale pour orienter des satellites comme on le souhaite.Pour résoudre ces problèmes, la méthode que nous suivons est la Hilbert Uniqueness Method (HUM) développée par J.-L. Lions. Elle établit une équivalence entre la contrôlabilité d’un système et l’observabilité de son adjoint. Nous établissons alors une inégalité d’observabilité pourl’adjoint. Nous obtenons cette estimation en la déduisant des estimations de Carleman du chapitre précédent. La méthode HUM nous permet ensuite, en utilisant ces estimations d’observabilité, de démontrer l’existence et l’unicité d’un contrôle optimal solution du problème de contrôlabilité à zéro.Enfin, nous appliquons les inégalités de Carleman du premier chapitre à l’analyse de problèmes inverses associés à un système de Timoshenko. Un problème inverse se pose lorsque l’on considère un système dynamique pour lequel il manque des informations telles que les valeurs de certains paramètres. Le but est alors de déterminer, à partir des données que l’on possède, les informations manquantes.

This thesis aims to establish Carleman inequalities associated with a Timoshenko system and to apply these results to the resolution of exact controllability problems and inverse problems.This system, introduced by Stephen Timoshenko, consists of two hyperbolic equations and makes it possible to describe the transverse vibrations on a beam. More generally, this model is used, with that of Euler Bernoulli, in beam theory, in the field of material resistance. It has the particularity, unlike the other model, of taking into account the effects of shear in the deformation of a beam. For example, it allows you to model a diving board in a swimming pool or even a reinforced concrete structure. The point of solving zero controllability problems associated with this system is to be able to bring a structure to the equilibrium state so that it does not break or enter into resonance. One of the advantages of solving inverse problems associated with a Timoshenko system is that they can help us locate cracks on a vibrating structure.In a first chapter, we establish Carleman inequalities associated with a Timoshenko system in the border and internal cases. These estimates are exponentially weighted inequalities with one or two very large parameters, named in homage to Torsten Carleman who introduced them. Noting that a Timoshenko system can be transformed into a system of two wave equations, we begin by proving Carleman inequalities for a wave equation in the internal and boundary cases. We first impose nullity conditions on the solution of the equation for displacements at the initial and final times. Subsequently, by using a cut-off function we improve these inequalities by getting rid of the constraints on the movements. By then applying these results to the system considered, we obtain the desired Carleman inequalities.In a second chapter, using the previous results, we solve null controllability problems associated with a Timoshenko system. A null controllability problem arises for a dynamic system in which we find a function called control which we can, for any initial data, lead our system to its equilibrium state after a certain time with. We find this type of problem in many fields such as chemistry, when we want to obtain a precise quantity of product at the end of a reaction or even aerospace to orient satellites as desired.To solve these problems, the method we follow is the Hilbert Uniqueness Method (HUM) developed by J.-L. Lions. It establishes an equivalence between the controllability of a system and the observability of its assistant. We then establish an observability inequality for the adjoint. We obtain this estimate by deducing it from Carleman's estimates from the previous chapter. The HUM method then allows us, using these observability estimates, to demonstrate the existence and uniqueness of an optimal control solution to the null controllability problem.Finally, we apply the Carleman inequalities of the first chapter to the analysis of inverse problems associated with a Timoshenko system. An inverse problem arises when we consider a dynamic system for which information such as the values of certain parameters is missing.