Étude mathématique de l'instabilité de Peierls dans le modèle discret du polyacétylène

Mathematical study of Peierls instability in the discrete polyacetylene model

• Auteur / Autrice : Adéchola Emile Kodjo Kouande
• Direction : Eric Séré
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques appliquées
• Date : Soutenance le 18/10/2023
• Etablissement(s) : Université Paris sciences et lettres
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale SDOSE (Paris)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Centre de recherche en mathématiques de la décision (Paris) - Centre de Recherche en Mathématiques de la Décision
• Partenaire(s) de recherche : établissement opérateur d'inscription : Université Paris Dauphine-PSL (1968-....)
• Jury : Président / Présidente : Eric Cancès
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Eric Séré, Eric Cancès, Salma Lahbabi, Antoine Levitt, Isabelle Catto, David Gontier
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Salma Lahbabi, Antoine Levitt

Mots clés

Mots clés contrôlés

Peierls, Transition de

Bifurcation, Théorie de la

Analyse fonctionnelle non linéaire

Mots clés libres

Analyse non linéaire

Théorie des opérateurs

Théorie de bifurcation

Instabilité de Peierls

Limite thermodynamique

Polyacétylène

Nonlinear analysis

Operators theory

Bifurcation theory

Peierls instability

Thermodynamic limit

Polyacetylene

Résumé

Cette thèse présente une étude mathématique et numérique de l'instabilité de Peierls dans le modèle discret du polyacétylène. Nous commençons par présenter le cadre général de notre travail. Par la suite, nous étudions la transition de phase dans le modèle de Peierls-SSH pour le polyacétylène. Nous considérons le modèle discret des chaînes fermées du polyacétylène avec un nombre pair d'atomes de carbone, ainsi que des chaînes infinies en présence de température, et prouvons l'existence d'une température critique en dessous de laquelle la chaîne est dimérisée, et au-dessus de laquelle elle est 1-périodique. La chaîne se comporte comme un isolant en dessous de la température critique et comme un métal au-dessus. Nous caractérisons la température critique dans le modèle limite thermodynamique et prouvons qu'elle est exponentiellement petite en fonction de la rigidité de la chaîne. Nous étudions ensuite la transition de phase autour de cette température critique. Pour finir, nous montrons dans la dernière partie la décroissance exponentielle des points critiques de l'énergie associée au modèle discret du polyacétylène à température nulle. Plus précisément, nous considérons les états stationnaires du modèle discret pour des chaînes infinies de polyacétylène qui sont des connexions homoclines ou hétéroclines entre deux états dimérisés périodiques. Nous prouvons que ces états convergent exponentiellement vite vers les états périodiques asymptotiques correspondants.

This thesis presents a mathematical and numerical study of the Peierls instability in the discrete polyacetylene model. We begin by presenting the general framework of our work. We then study the phase transition in the Peierls-SSH model for polyacetylene. We consider the discrete model of closed polyacetylene chains with an even number of carbon atoms, as well as infinite chains in the presence of temperature, and prove the existence of a critical temperature below which the chain is dimerized, and above which this chain is 1-periodic. The chain behaves like an insulator below the critical temperature and like a metal above it. We characterize the critical temperature in the thermodynamic limit model and prove that it is exponentially small as a function of chain rigidity. We then study the phase transition around this critical temperature. Finally, in the last section, we prove the exponential decay of the critical energy points associated with the discrete polyacetylene model at zero temperature. More precisely, we consider stationary states of the discrete model for infinite polyacetylene chains that are homoclinic or heteroclinic connections between two periodic dimerized states. We prove that these states converge exponentially fast to the corresponding asymptotic periodic states.