Stratégies à mémoire finie dans les jeux concurrents à deux joueurs

Finite-memory strategies in concurrent two-player games

• Auteur / Autrice : Nathan Thomasset
• Direction : Patricia Bouyer-Decitre, Stéphane Le Roux
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 21/12/2023
• Etablissement(s) : université Paris-Saclay
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences et technologies de l'information et de la communication (Orsay, Essonne ; 2015-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Méthodes formelles (Gif-sur-Yvette, Essonne ; 2021-....)
• Partenaire(s) de recherche : Référent : École normale supérieure Paris-Saclay (Gif-sur-Yvette, Essonne ; 1912-....)
• Partenaire(s) de recherche : graduate school : Université Paris-Saclay. Graduate School Informatique et sciences du numérique (2020-….)
• Jury : Président / Présidente : Johanne Cohen
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Jacques Duparc, Nathanaël Fijalkow, Arnaud Durand, Nathalie Bertrand, Philippe Schnoebelen
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Jacques Duparc, Nathanaël Fijalkow

Mots clés

Mots clés contrôlés

Jeux de stratégie (mathématiques)

Théorie descriptive des ensembles

Théorie des jeux

Mots clés libres

Théorie des jeux

Théorie descriptive des ensembles

Jeux concurrents

Stratégies à mémoire finie

Stratégies gagnantes

Stratégies optimales

Game theory

Descriptive set theory

Concurrent games

Finite-Memory strategies

Winning strategies

Optimal strategies

Résumé

On étudie des jeux concurrents à deux joueurs de durée infinie qui se jouent de la façon suivante : chaque tour, les deux joueurs choisissent chacun une action sans connaître le choix actuel de l'adversaire. Sur un nombre de tours infini, cette procédure génère une suite infinie de paires d'actions. Cette suite est alors gagnante pour le Joueur 1 si elle appartient à l'ensemble gagnant du jeu. On nomme histoire une suite finie de paires d'actions, qui décrit ce que les Joueurs ont joué après un temps fini, et stratégie (du Joueur 1) une fonction qui associe à chaque histoire une distribution de probabilité sur les actions du Joueur 1. Une stratégie décrit un comportement du joueur. Ce modèle de jeu diffère de celui des jeux sur graphes, plus communément étudié par la communauté de la théorie des jeux pour l'informatique. Toutefois, on établit des relations entre les deux modèles qui permettent d'appliquer nos résultats aux jeux sur graphe. Le modèle étudié ici est dit concurrent, par opposition aux modèles de jeux à tours dans lesquels les joueurs jouent l'un après l'autre. Dans les jeux concurrents, contrairement aux jeux à tours boréliens, il n'est pas garanti qu'un des deux joueurs ait une façon de jouer qui lui assure de gagner. On étudie différents types de stratégies souhaitables : les stratégies gagnantes, gagnantes presque sûrement, optimales, et quasi-optimales. Seules les stratégies quasi-optimales existent dans tous les jeux. Toutefois, ces stratégies souhaitables peuvent être très complexes. L'existence de stratégies qui sont à la fois souhaitables et simples est une question récurrente de la théorie des jeux pour l'informatique. Une interprétation standard de stratégies simples est celle des stratégies à mémoire finie, qui peuvent être représentées comme des machines à états finis. On cherche à montrer des résultats de transfert de la forme suivante : étant données certaines hypothèses sur l'ensemble gagnant, si le Joueur 1 a une stratégie gagnante, gagnante presque sûrement, ou optimale, alors il en a une à mémoire finie. Une hypothèse clé à laquelle on s'intéresse est la condition de bel ordre, qui se rapporte aux ensembles gagnants résiduels. Cette condition est satisfaite par des objectifs classiques de la littérature sur les jeux sur des graphes finis, comme les jeux d'énergie ou les jeux avec un objectif ω-régulier. De plus, on montre via des contre-exemples que cette hypothèse est ''presque nécessaire'' pour les résultats de transfert. Pour décrire les ensembles gagnants considérés, on utilise à la fois des éléments de la théorie descriptive des ensembles et de la théorie des jeux. En particulier, on utilise la hiérarchie des différences d'ouverts de Hausdorff, qui décrit les ensembles dans Δ⁰₂. On introduit une nouvelle opération sur les ensembles inspirée de cette hiérarchie, que l'on appelle l'interfoliage. En utilisant cette opération, on introduit deux nouvelles classes d'ensembles : les interfoliages d'ensembles Büchi-réguliers, qui sont une sous-classe de ∏⁰₂, et les interfoliages à bassin fini d'ensembles ω-réguliers, qui sont une sous-classe de Δ⁰₃ qui contient les langages ω-réguliers. Ces deux nouvelles classes contiennent la classe Δ⁰₂, mais sont incomparables l'une avec l'autre du fait de la restriction aux bassins finis. On montre des résultats de transfert pour des jeux dont l'ensemble gagnant satisfait la condition de bel ordre et appartient à l'une des trois classes suivantes : Δ⁰₂, les interfoliages d'ensembles Büchi-réguliers, et les interfoliages à bassin fini d'ensembles ω-réguliers. Plus précisément, on se penche sur les stratégies optimales et quasi-optimales pour les ensembles dans Δ⁰₂, sur les stratégies gagnantes et gagnantes presque sûrement pour les interfoliages d'ensembles Büchi-réguliers, et sur les stratégies gagnantes pour les interfoliages à bassin fini d'ensembles ω-réguliers.

We study two-player concurrent games of infinite duration played in the following fashion : each round, each player picks an action without knowing of the other's player's current choice. After infinitely many rounds, this generates an infinite sequence of action pairs. This sequence is then winning for Player 1 if it belongs to the given winning set. We call history a finite sequence of action pairs, that describes what the players have played after a finite time, and strategy (for Player 1) a function that associates to each history a distribution over Player 1's actions. A strategy describes a behavior of the player. This game setting differs from that of games on graphs, that is more commonly studied by the community of game theory for computer science. However, we establish relations between the two settings that enable the application of our result to games on graphs.The setting studied here is deemed concurrent, in opposition to turn-based settings where the players play one after the other. In concurrent games, contrarilty to Borel turn-based games, it may happen that no player can ensure the win. We study several types of desirable strategies: winning, almost-surely winning, optimal and quasi-optimal strategies. Only quasi-optimal strategies are guaranteed to exist. However desirable strategies can be highly complex and cannot always be represented by a finite object. The existence of strategies that are both desirable and simple is an recurring question in game theory for computer science. A standard interpretation of simple strategies is that of finite-memory strategies, which can be represented as finite-state machines. We are interested in establishing transfer result of the following form : given some assumptions on the winning set, if Player 1 has a winning, almost-surely winning, or optimal strategy then she has one that is finite-memory. A key assumption for most of our transfer results is the well partial order assumption, that relates to the residual winning sets. This assumption is satisfied by classical objectives on finite graphs, such as energy or ω-regular objectives. Furthermore, we show by means of counter-examples that this assumption is quasi-necessary for transfer results. To describe the winning sets we consider, we use both elements of descriptive set theory and of automata theory. In particular, we use Hausdorff's difference hierarchy of open sets, which describes the sets in Δ⁰₂. We introduce a new operation on sets inspired by this hierarchy, called interleaving. Using this operation, we introduce two new collections of sets : Büchi-regular interleavings, a sub-collection of ∏⁰₂, and finite-pool ω-regular interleavings, a sub-collection of Δ⁰₃ that subsumes the ω-regular languages. Both of these new collections subsume Δ⁰₂, but are incomparable with one another due to the finite-pool restriction. We show transfer results for games whose winning set satisfies the well partial order assumption and belongs to either of three collections : Δ⁰₂, Büchi-regular interleavings, and finite-pool ω-regular interleavings. More specifically, we focus on optimal and quasi-optimal strategies for sets in Δ⁰₂, on winning and almost-surely winning strategies for Büchi-regular interleavings, and on winning strategies for finite-pool ω-regular interleavings. We also study the relations between our setting and the setting of games on graphs, that is more popular in the literature on game theory for computer science.