Les mesures complexes à travers le prisme des jeux à deux joueurs et des signatures de l'hypercube

Complexity measures through the lens of two-player games and signatures of the hypercube

• Auteur / Autrice : Anupa Sunny
• Direction : Sophie Laplante
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 15/02/2023
• Etablissement(s) : Université Paris Cité
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Sciences mathématiques de Paris centre (Paris ; 2000-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Institut de recherche en informatique fondamentale (Paris ; 2016-....)
• Jury : Président / Présidente : Sylvain Schmitz
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Sylvain Schmitz, Rahul Jain, Troy Lee, Stacey Jeffery, Robin Kothari
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Rahul Jain, Troy Lee

Mots clés

Mots clés contrôlés

Jeux vidéo

Hypercube

Fonctions booléennes

Complexité de calcul (informatique)

Mots clés libres

Mesures complexes

Complexité des certificats

Signatures de l'hypercube

Jeux à deux joueurs

Complexity measures

Boolean functions

Sensitivity

Certificate complexity

Signed hypercubes

Zero-Communication two-Player games

Résumé

Les mesures de complexité des fonctions booléennes capturent divers aspects de la difficulté du calcul d'une fonction et leur étude consiste à trouver des connexions entre différentes mesures de complexité. Dans la première partie de cette thèse, nous introduisons et étudions la complexité de jeux de certificats, une mesure de complexité basée sur la probabilité de gagner un jeu dans lequel deux joueurs reçoivent des entrées avec des valeurs de fonctions différentes et doivent produire un indice i pour lequel leurs entrées diffèrent, sans communiquer. Nous donnons des bornes supérieures et inférieures pour les stratégies à base de pièces privées, de pièces publiques, d'intrication partagée et de non-signalisation, et nous prouvons quelques résultats de séparations. D'une part, nous montrons que la complexité dans le cas des pièces publiques est majorée par les complexités de requête aléatoire et de certificat. D'autre part, nous montrons qu'elle est minorée par la complexité fractionnelle de certificat, ce qui en fait un bon candidat pour trouver des bornes inférieures fortes sur la complexité de requête aléatoire. La complexité dans le cas des pièces privées est minorée par la complexité de requête aléatoire à erreur nulle. Nous utilisons la non-signalisation, une notion d'information quantique, pour minorer par n la complexité de jeux de certificats quantiques de la fonction OR, dont la complexité de requête quantique est de Θ(√n), puis nous montrons que ce "goulot d'étranglement de non-signalisation" s'applique à toutes les fonctions à sensibilité, à sensibilité de bloc ou à sensibilité de bloc fractionnaire élevée. Nous considérons également la version mono-bit des jeux de certificats, où les entrées des deux joueurs sont restreints à une distance de Hamming de 1. Nous prouvons que la version mono-bit de la complexité de jeux de certificats avec aléa partagé est égale à la sensibilité à un facteur constant près, ce qui donne une nouvelle caractérisation de la sensibilité. D'autre part, la version mono-bit de la complexité de jeux de certificats avec aléa privé est égale à λ2, où λ est la sensibilité spectrale. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous revisitons la célèbre preuve de la conjecture de la sensibilité par Hao Huang. En utilisant des techniques spectrales, Huang a prouvé que tout sous-graphe de l'hypercube Hn de dimension n induit sur plus de la moitié des sommets a un degré maximal d'au moins √n. Combiné avec des travaux antérieurs, ce résultat a complété une preuve de la conjecture de la sensibilité. Nous en donnons une preuve alternative en utilisant seulement la dépendance linéaire des vecteurs associés aux sommets de l'hypercube. Notre approche permet de mieux comprendre les propriétés structurelles du sous-graphe induit, en plus du plus grand degré. En particulier, nous prouvons que dans tout sous-graphe induit de Hn avec plus de la moitié du nombre de sommets, il existe deux sommets, l'un de parité impaire et l'autre de parité paire, chacun ayant au moins n sommets à une distance au plus égale à 2. Comme application, nous montrons que pour toute fonction booléenne f, le degré polynomial est majoré par le produit de la sensibilité 0 et de la sensibilité 1, s0(f)s1(f), une affirmation strictement plus forte qui implique le théorème de Huang. Nous obtenons également des relations structurelles pour les sous-graphes induits à distance 3. Un ingrédient clé de la preuve de Huang était des hypercubes signés avec la propriété que chaque cycle de longueur 4 est affecté d'un signe négatif. Nous examinons en détail cette signature et donnons une signature quasi-optimale qui utilise le nombre minimum de bords négatifs tout en garantissant que chaque cycle de longueur 4 est négatif. Ce problème s'avère être lié à l'un des problèmes d'Erdös sur le plus grand sous-graphe de l'hypercube exempt de 4-cycles.

Complexity measures of Boolean functions capture various aspects of the hardness of computing a function and their study is about finding connections between different complexity measures. In the first part of this thesis, we introduce and study Certificate Game complexity, a measure of complexity based on the probability of winning a game in which two players are given inputs with different function values and are asked to output some index i where their inputs differ, in a zero-communication setting. We give upper and lower bounds for private coin, public coin, shared entanglement and non-signaling strategies, and give some separations. We show that complexity in the public coin model is bounded above by Randomised query and Certificate complexities. On the other hand, it is bounded below by fractional certificate complexity, making it a good candidate to prove strong lower bounds on randomised query complexity. Complexity in the private coin model is bounded below by zero-error randomised query complexity. The quantum measure highlights an interesting and surprising difference between classical and quantum query models. While public coin certificate game complexity is bounded above by randomised query complexity, quantum certificate game complexity can be quadratically larger than quantum query complexity. We use non-signaling, a notion from quantum information, to give a lower bound of n on the quantum certificate game complexity of the OR function, whose quantum query complexity is Θ(√n) and then go on to show that this "non-signaling bottleneck" applies to all functions with high sensitivity, block sensitivity or fractional block sensitivity. We also consider the single-bit version of certificate games, where the inputs of the two players are restricted to having Hamming distance 1. We prove that the single-bit version of certificate game complexity with shared randomness is equal to sensitivity up to constant factors, thus giving a new characterization of sensitivity. On the other hand, the single-bit version of certificate game complexity with private randomness is equal to λ2, where λ is the spectral sensitivity. In the second part of this thesis, we revisit the celebrated proof of the sensitivity conjecture by Hao Huang. Using spectral techniques, Huang proved that every subgraph of the hypercube Hn of dimension n induced on more than half the vertices has maximum degree at least √n. Combined with earlier work, this completed a proof of the sensitivity conjecture. We show an alternate proof of Huang's result using only linear dependency of vectors associated with the vertices of the hypercube. Our approach helps gain insight on more structural properties of the induced subgraph in addition to the largest degree. In particular, we prove that in any induced subgraph of Hn with more than half the number of vertices, there are two vertices, one of odd parity and the other of even parity, each with at least n vertices at distance at most 2. As an application, we show that for any Boolean function f, the polynomial degree is bounded above by the product of 0-sensitivity and 1-sensitivity, s0(f)s1(f), a strictly stronger statement which implies Huang's theorem. We also obtain structural relations for induced subgraphs at distance 3. A key implement in Huang's proof was signed hypercubes with the property that every cycle of length 4 is assigned a negative sign. We take a detailed look at this signature and give a nearly optimal signature that uses the minimum number of negative edges while ensuring that every 4-cycle is negative. This problem turns out to be related to one of Erdös' problems on the largest 4-cycle free subgraph of the hypercube.