Thèse soutenue

Contributions à l'étude des matrices aléatoires et à l'inférence statistique des EDPS par le calcul de Stein-Malliavin

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Auteur / Autrice : Julie Gamain
Direction : Ciprian A. Tudor
Type : Thèse de doctorat
Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
Date : Soutenance le 08/12/2023
Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille)
Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
Jury : Président / Présidente : Jean-Christophe Breton
Examinateurs / Examinatrices : Céline Duval
Rapporteurs / Rapporteuses : Ivan Nourdin, Yvik Swan

Résumé

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Le cadre sur lequel s'érige cette thèse est assez vaste puisqu'il regroupe un large champ d'études, allant des équations stochastiques aux dérivées partielles à la théorie des matrices et tenseurs aléatoires, dont le point commun est l'analyse des p-variations de processus. L'outil majeur qui a permis son élaboration est le calcul de Malliavin combiné à la méthode de Stein.Cette thèse se dessine en trois parties distinctes dont la première évoquera l'inférence statistique des équations différentielles stochastiques. En premier lieu, elle mettra en avant l'estimation des paramètres de drift et de diffusion pour les équations des ondes et de la chaleur fractionnaire dirigées par un bruit blanc en temps et en espace, qui a la possibilité d'être non-linéaire.Plus précisément, ces travaux porteront sur une exploration minutieuse du comportement des variations quadratiques de la solution associées à ces équations.En effet, d'une part, nous établissons un théorème central limite obtenu par l'application du célèbre théorème du quatrième moment sur les variations quadratiques spatiales et temporelles de la solution de l'équation des ondes dirigée par un bruit en temps et en espace.En outre, nous nous sommes évertués à l'estimation du paramètre de drift de l'équation de la chaleur fractionnaire dirigée par un bruit gaussien non linéaire, blanc en temps et en espace. Pour ce faire, nous avons tiré profit de l'existence d'une connexion forte entre le mouvement brownien fractionnaire et la solution spatiale de l'équation de la chaleur fractionnaire dirigée par un bruit gaussien additif. Au moyen d'un critère d'approximation basé sur les accroissements de la solution linéaire, nous procédons à l'investigation autour de la convergence desvariations quadratiques spatiales de la solution dans le cas non linéaire.Par ailleurs, les deux autres chapitres constituant la thèse donneront accès à une réflexion autour de l'étude asymptotique des matrices et tenseurs de Wishart par l'utilisation de la méthode de Stein-Malliavin.Déjà largement étudiés au cours des dernières années, les auteurs ont examiné ces objets lorsque les composantes de la matrice intiale associée à la matrice de Wishart étaient gaussiennes, log-concaves ou de loi complètement générale et avec la considération supplémentaire d'une corrélation nulle, partielle ou totale. Notre contribution consistera à apporter un résultat lorsque les entrées de la matrice initiale demeurent gaussiennes mais en relâchant l'hypothèse d'équidistribution. Afin d'y parvenir nous choisissons des entrées particulières, correspondant aux accroissements temporels de la solution de l'équation stochastique des ondes. Nous traitons un cas similaire pour l'équation stochastique de la chaleur qui donnera la possibilité d'obtenir une convergence presque sûre vers une matrice diagonale.Notre souhait a ensuite été de généraliser les résultats concernant les matrices de Wishart à une certaine classe de tenseur aléatoire, dont la dénomination serait les tenseurs de Wishart. Leur intérêt grandissant dû aux développements des domaines applicatifs nous a conduit à cet axe de recherche pertinent.En particulier, nous nous sommes concentrés sur la situation dans laquelle les composantes de notre vecteur initial associé au tenseur de Wishart sont des variables aléatoires appartenant au second chaos de Wiener. En particulier, ce sont des accroissements de processus de Rosenblatt et de surcroît la loi des entrées n'est pas gaussienne.Il s'est avéré que les termes de l'hyperdiagonale du tenseur, vu comme un vecteur, dominaient et correspondaient aux p-variations du processus de Rosenblatt. Grâce à une étude fine de ces variations, nous parvenons à approcher la loi de notre tenseur de Wishart par celle d'un vecteur aléatoire dont la majorité des composantes sont des variables aléatoires de Rosenblatt.