Développement et analyse de schémas d'ordre élevé pour des modèles de convection-diffusion : étude du comportement en temps long

Development and numerical analysis of high-order schemes for convection-diffusion models : study of their long-time behaviour

• Auteur / Autrice : Julien Moatti
• Direction : Claire Chainais-Hillairet
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 26/09/2023
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé - Centre Inria de l'Université de Lille
• Jury : Président / Présidente : Alexandre Ern
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Raphaèle Herbin, Stella Krell, Ilaria Perugia, Maxime Herda, Simon Lemaire
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Lourenço Beirão da Veiga, Jérôme Droniou

Mots clés

Mots clés contrôlés

Modèles mathématiques

Semiconducteurs

Maillages polyédriques

Approximation numérique

Volumes finis, Méthodes de

Entropie

Équations différentielles paraboliques -- Solutions numériques

Mots clés libres

Méthodes numériques d'ordre élevé

Numerical analysis

Entropy method

Numerical methods on general meshes

High-Order numerical methods

Semiconductors

Parabolic PDEs

Résumé

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'approximation numérique de problèmes de convection-diffusion, potentiellement anisotropes, par des schémas d'ordre élevé sur maillages généraux. Notre objectif est de proposer des méthodes fiables, précises et efficaces : les solutions numériques doivent préserver les propriétés physiques des solutions continues (conservation de la masse, positivité des densités, comportement en temps long) tout en autorisant une large gamme de paramètres de discrétisation (pas de temps grands, maillages spatiaux généraux) et en optimisant la précision de calcul à coût donné. Les problèmes considérés sont des équations d'advection-diffusion ainsi que des systèmes couplés de dérive-diffusion qui modélisent les composants semi-conducteurs.On se concentre d'abord sur une équation d'advection-diffusion seule, pour laquelle nous proposons et analysons trois méthodes d'ordre bas de type volumes finis hybrides (HFV). Cette comparaison met en avant la nécessité d'utiliser un schéma non-linéaire afin de préserver la positivité des solutions, tant d'un point de vue théorique que numérique. On s'intéresse alors à l'approximation d'un système de dérive-diffusion, constitué de deux équations d'advection-diffusion couplées avec une équation de Poisson. Pour ce problème, on introduit un schéma non-linéaire basé sur la méthode précédente, qui préserve les bornes des densités calculées (et en particulier leur positivité) et le comportement en temps long de la solution. Ce schéma HFV pour la dérive-diffusion est ensuite comparé numériquement avec un schéma présentant des propriétés similaires basé sur la méthode volumes finis en dualité discrète (DDFV).Nous nous intéressons alors à des schémas d'ordre élevé (en espace). Ces schémas sont basés sur des méthodes de type hybride d'ordre élevé (HHO) qui peuvent être interprétées comme des extensions à l'ordre arbitraire des méthodes HFV. Nous introduisons deux méthodes pour les équations d'advection-diffusion linéaires. La première est linéaire, tandis que la seconde est non-linéaire, et permet de préserver la positivité. Pour ces deux schémas, nous prouvons l'existence de solutions discrètes et établissons des résultats de comportement en temps long. Nous confirmons également ces résultats numériquement, et mettons en avant la nécessité d'utiliser une méthode non-linéaire pour préserver la positivité. Par ailleurs, on observe que la méthode non-linéaire converge à l'ordre attendu. De plus, la montée en ordre permet un gain d'efficacité (précision de l'approximation pour un coût de calcul donné) conséquent par rapport aux méthodes d'ordre bas des premiers chapitres.Ces travaux sont complétés par l'étude de problèmes de convection-diffusion avec convection très irrégulière, effectuée en collaboration avec des physiciens durant la thèse. Les recherches menées visent à comprendre comment concevoir des diodes électroluminescentes efficaces émettant dans l'ultraviolet profond, et soulèvent divers enjeux relatifs à la modélisation, l'analyse numérique et la simulation de ces problèmes.

In this thesis, we are interested in the numerical approximation of anisotropic convection-diffusion problems using high-order schemes on general meshes. Our objective is to develop reliable, accurate, and efficient methods: the numerical solutions must preserve the physical properties of the continuous solutions (mass conservation, positivity of densities, long-time behaviour) while allowing for a wide range of discretisation parameters (large time steps, general spatial meshes) and optimising the accuracy at a given computational cost. The problems under study are advection-diffusion equations as well as coupled drift-diffusion systems that model semiconductor devices.We first focus on a single advection-diffusion equation for which we propose and analyse three different hybrid finite volume (HFV) methods to approximate the solution. Their comparison highlights the necessity of using a nonlinear scheme to ensure the preservation of positivity, both from a theoretical and a numerical level. We then consider the numerical approximation of a drift-diffusion system, consisting of two coupled advection-diffusion equations with a Poisson equation. For this problem, we introduce a nonlinear scheme based on the previous method, which preserves the bounds on the computed densities (including their positivity) and the long-time behaviour of the solution. This HFV scheme for drift-diffusion is then numerically compared with another scheme with similar properties based on the discrete duality finite volume (DDFV) method.We then focus on high-order (in space) schemes. These schemes are based on hybrid high-order (HHO) methods which can be interpreted as an arbitrary-order extension of HFV methods. We introduce two schemes for linear advection-diffusion: the first method is linear, while the second one is nonlinear and preserves the positivity of the solution. For both of these schemes, we prove the existence of discrete solutions and establish results about their long-time behaviour. We also confirm these results numerically and emphasise the need to use a nonlinear method to preserve positivity. We observe that the nonlinear method converges at the expected order. Furthermore, increasing the order leads to a significant gain in efficiency (accuracy of the approximation for a given computational cost) compared to the low-order methods discussed in the first chapters.These works are complemented with the study of convection-diffusion problems with highly irregular convection, carried out in collaboration with physicists during the thesis. These investigations aim to understand how to design efficient deep ultraviolet-emitting electroluminescent diodes, and raise various issues related to the modeling, numerical analysis and simulation of these problems.