Équilibres d'écosystèmes de grande taille via la théorie des matrices aléatoires

Equilibria of large ecosystems via random matrix theory

• Auteur / Autrice : Imane Akjouj
• Direction : Mylène Maïda, Jamal Najim
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Mathématiques et leurs interactions
• Date : Soutenance le 29/06/2023
• Etablissement(s) : Université de Lille (2022-....)
• Ecole(s) doctorale(s) : Ecole doctorale Mathématiques, sciences du numérique et de leurs interactions (Lille)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire Paul Painlevé
• Jury : Président / Présidente : David Dereudre
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Valentina Ros, Maxime Février
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Catherine Donati-Martin, Nicolas Champagnat

Mots clés

Mots clés contrôlés

Biomathématiques

Théorème de la limite centrale

Algorithmes d'approximation

Problèmes de la complémentarité linéaire

Matrices aléatoires

Écologie -- Réseaux d'interactions

Modèles mathématiques

Écosystèmes

Mots clés libres

Matrice creuse

Système de Lotka-Volterra

Random matrix

Ecosystem

Sparse matrix

Approximate Message Passing

Linear Complementary Problem

Lotka-Volterra system

Résumé

La modélisation mathématique des écosystèmes permet une étude des questions liées à la diversité des espèces et à la complexité de leurs interactions. En biologie et en écologie mathématiques, l'usage de grands systèmes de Lotka-Volterra est courant dans la modélisation de la dynamique des écosystèmes faisant intervenir des espèces qui interagissent entre elles.Lorsque les écosystèmes, réseaux trophiques ou microbiomes, impliquent de nombreuses espèces, il peut être difficile d'observer ou de mesurer les interactions entre ces espèces et pertinent de considérer les interactions comme aléatoires. Depuis les années 70, certains écologues ont ainsi fait appel aux résultats de la théorie des matrices aléatoires (RMT) dans l'étude des réseaux trophiques. La matrice des interactions est alors une matrice aléatoire.Dans une première partie de cette thèse, se posera la question de l'existence d'un équilibre faisable, c'est-à-dire d'une solution strictement positive du système de Lotka-Volterra, ce qui correspond au scénario où aucune espèce ne disparaı̂t au cours de la dynamique. Par ailleurs, certains modèles en écologie font appel à des matrices creuses, contenant de nombreux zéros ; chaque espèce interagissant avec un petit nombre d'autres espèces. En RMT, l'étude des matrices creuses est assez récente et c'est dans ce contexte que se posent les questions de la faisabilité et de la stabilité de l'équilibre. L'existence asymptotique, lorsque le nombre d'espèces tend vers l'infini, d'un seuil de faisabilité est démontrée pour deux modèles : lorsque la matrice des interactions a une structure par blocs et lorsque le paramètre de sparsité est proportionnel au nombre d'espèces.La deuxième partie portera sur une toute autre question, celle de la proportion d'espèces survivantes et la mesure empirique du vecteur solution du système de Lotka-Volterra. En particulier, les résultats présentés sont obtenus dans le cas de matrices d'interactions symétriques, appartenant à l'Ensemble Gaussien Orthogonal, ou dans le cas de matrices de Wishart, utilisées pour mesurer notamment la « proximité » des espèces en fonction de leurs traits. Ce chapitre nous permettra de faire le lien entre l'équilibre du système de Lotka-Volterra et la solution du Linear Complementary Problem ainsi que d'appliquer l'algorithme de l'Approximate Message Passing.L'objectif de la troisième partie est de présenter divers modèles de matrices aléatoires structurées qui apparaissent dans la littérature en écologie et en biomathématiques. L'accent sera mis sur leur utilisation en écologie théorique tout en faisant le lien avec des résultats mathématiques et des questions ouvertes.Enfin, la dernière partie sera consacrée à l'étude d'un théorème central limite, s'intéressant au comportement asymptotique de la solution d'un système algébrique d'équations couplés dont les coefficients sont aléatoires. La démonstration s'appuiera sur des outils d'analyse combinatoire et de théorie des graphes.

Mathematical modeling of ecosystems offers an approach to study issues related to the diversity of species and the complexity of their interactions. In mathematical ecology and biology, it is common to use large systems of Lotka-Volterra (LV) to model the dynamics of ecosystems with interacting species.When ecosystems, food webs and microbiomes, involve many species, it becomes difficult to observe or quantify the interactions between those species which makes it relevant to consider the interactions as random. Since the seventies, some ecologists use Random Matrix Theory (RMT) in the study of food webs. The interaction matrix is then random.In the first part of the thesis, the question of the existence of a feasible equilibrium arises. It corresponds to a positive solution of the Lotka-Volterra system, which is the scenario where no species disappears during the dynamics. Furthermore, some ecological models rely on sparse matrices with many zeros, each species interacting with few others. In RMT, the study of sparse matrices is a recent topic and it is in this context that emerge the issues of feasiblity equilibrium and its stability. When the number of species goes to infinity, the asymptotic existence of a feasibility threshold is proved for two models : for an interaction matrix with a block structure and for a sparsity parameter proportional to the species number.The second part concerns a totally different matter, the one of the proportion of surviving species and the behavior of the empirical measure of the LV equilibrium solution. The provided results are obtain for symmetric interaction matrices, from the Gaussian Orthogonal Ensemble, and for Wishart matrices, used to evaluate the « proximity » between species according to their features. This chapter provides a link between equilibrium of Lotka-Volterra system and the solution of Linear Complementary Problem and allows for an application of the Approximate Message Passing algorithm.The goal of the third part is to present a variety of structured random matrix models, that appear in ecological and biomathematical literature, emphasizing on their use in theoretical ecology and listing mathematical results and questions of interest.Finally, the last part will be dedicated to the study of a central limit theorem, showing the asymptotic behavior of the solution of an algebraic system of coupled equations with random coefficients. The proof relies on combinatorics and graph theory tools.