Graphes plongés : croisements et décompositions

Embedded graphs : crossings and decompositions

• Auteur / Autrice : Niloufar Fuladi
• Direction : Arnaud de Mesmay
• Type : Thèse de doctorat
• Discipline(s) : Informatique
• Date : Soutenance le 27/11/2023
• Etablissement(s) : Université Gustave Eiffel
• Ecole(s) doctorale(s) : École doctorale Mathématiques, Sciences et Technologies de l'Information et de la Communication (Champs-sur-Marne, Seine-et-Marne ; 2010-....)
• Partenaire(s) de recherche : Laboratoire : Laboratoire d'informatique de l'Institut Gaspard Monge (1997-2009) - Laboratoire d'informatique de l'Institut Gaspard Monge (1997-2009)
• Jury : Examinateurs / Examinatrices : Arnaud de Mesmay, Cyril Gavoille, Jorge L. Ramírez Alfonsín, Alfredo Hubard, Francis Lazarus, Ana Rechtman, Federica Fanoni
• Jury : Rapporteurs / Rapporteuses : Cyril Gavoille, Jorge L. Ramírez Alfonsín

Mots clés

Mots clés contrôlés

Détérioration

Surfaces (mathématiques)

Topologie algébrique

Théorie des graphes

Mots clés libres

Graphe plongé

Surface

Topologie Algorithmique

Nombre de croisement

Décomposition en pantalon

Embedded graphs

Surface

Computational topology

Crossing number

Pants decomposition

Résumé

Dans cette thèse, nous étudions des problèmes topologiques sur les surfaces et sur les graphes qui y sont plongés d'un point de vue algorithmique. En particulier, nous étudions des problèmes autour de décompositions de surfaces et de nombres de croisements de graphes. Les principales contributions de cette thèse peuvent être divisées en trois parties. Le premier problème auquel nous nous attaquons consiste à trouver des décompositions canoniques courtes pour une surface : étant donnée une surface avec une métrique de croisements, c'est-à-dire une surface dotée d'une métrique discrète sous la forme d'un graphe plongé ; nous souhaitons la couper en un disque le long d'un système de boucles ayant une forme spécifique et telle que les boucles soient courtes. Nous fournissons le premier algorithme qui calcule une décomposition canonique non orientable de longueur O(gn) où g est le genre de la surface et n est le nombre d'arêtes du graphe plongé. Cette décomposition confirme un cas particulier d'une conjecture de Negami sur le nombre de croisements conjoints de deux graphes plongeables. Cette conjecture postule que pour toute surface avec une métrique de croisements, une décomposition courte de n'importe quelle forme existe. Nous corrigeons également un argument de Negami limitant le nombre de croisements conjoints de deux graphes plongés non orientables. De plus, nous généralisons la métrique universelle de plus courts chemins O(g) aux surfaces non orientables. Le deuxième problème que nous abordons concerne deux exemples de nombres de croisements de graphes : le nombre de croisements dégénérés et le nombre de croisements de genre. A partir de l'observation que ces deux nombres de croisements peuvent être interprétés en termes de certains plongements sur une surface non orientable, Mohar a conjecturé que sous certaines conditions sur les plongements de graphes, ces concepts coïncident. Nous fournissons le premier contre-exemple à l'une des conjectures de Mohar qui concerne deux graphes donnés par des plongements fixes.Inversement, nous prouvons un théorème de structure qui montre que la conjecture tient pour la majorité des plongements de graphes à 2 sommets. Le troisième problème est motivé par une question sur l'existence d'une métrique universelle de plus courts chemins. Nous étudions la taille minimale d'une famille de courbes sur une surface qui réalise tous les types de décompositions en pantalons de la surface, c'est-à-dire que pour toute décomposition en pantalons de la surface, il existe un homéomorphisme qui l'envoie sur un sous-ensemble de courbes de cette famille

In this thesis we investigate some topological problems on surfaces and on graphs embedded on them from a computational viewpoint. Specifically, we focus on decompositions of surfaces and crossing numbers of graphs. The main contributions of this thesis can be divided into three parts. The first problem we tackle concerns finding short canonical decompositions for a surface: given a cross-metric surface, that is, a surface endowed with a discrete metric in the form of an embedded graph, we are interested in cutting it to a disk along a system of loops with a specific shape such that the length of the cut is short. We provide the first algorithm that computes a non-orientable canonical decomposition of length O(gn) where g is the genus of the surface and n is the number of edges of the graph embedded on it. This decomposition confirms a special case of a conjecture of Negami on the joint crossing number of two embeddable graphs. This conjecture posits that for any cross-metric surface, short decomposition of any shape exists. We also provide a correction for an argument of Negami bounding the joint crossing number of two non-orientable graph embeddings. Furthermore, we provide a generalization of O(g)-universalshortest path metrics to non-orientable surfaces. The second problem that we address concerns two instances of crossing numbers of graphs: the degenerate crossing number and the genus crossing number. Based on the observation that both of these crossing numbers can be interpreted in terms of certain embeddings in a non-orientable surface, Mohar conjectured that under certain conditions on graph embeddings these concepts coincide. We provide the first counterexample to one of Mohar's conjectures which concerns two graphs given by fixed embeddings. Conversely, we prove a structure theorem that shows that the conjecture holds for the majority of the two-vertex graph embeddings.The third problem is motivated by a question on the existence of a universal shortest path metric. We investigate the minimal size of a family of curves on a surface that realizes all types of pants decompositions of the surface, i.e., for any pants decomposition of the surface, there exists a homeomorphism sending it to a subset of the curves in this family